Supermatemáticas a tu alcance

 Dado el binomio (x + a) queremos calcular sus potencias enésimas: (x + a) n . Para ello, utilizaremos la fórmula conocida como binomio de Newton. Sería un polinomio de grado "n" en el que aparecen "n - 1" términos. El término que ocupa el lugar "r-ésimo será: C (n,r-1) ·x n-r+1 ·a r-1 Ejemplos Tenemos que calcular (x + 3)⁴ (x + 3)⁴ = C (4,0) x⁴ + C (4,1) ·x³·3 + C (4,2) ·x²·3² + C (4,3) ·x·3³ + C (4,4) ·3⁴ Aplicando las propiedades del número combinatorio, tenemos: = 1·x⁴ + 4x³·3 + 6·x²·3² + 4·x·3³ + 1·3⁴ =  = x⁴ + 12x³ + 54x² + 108x + 81

 La potencia de un polinomio P(x) es el polinomio modelo de tantos factores iguales al polinomio como unidades tenga el exponente. [P(x)]n = P(x)·P(x)·............ n veces........P(x) Cuadrado de un polinomio El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el doble producto de cada uno de ellos por los que le siguen. Ejemplo  Calcular (3x² + x - 2)² Tenemos que (3x² + x -2)² =(3x² + x -2)·(3x² + x -2) Multiplicando cada término del primer paréntesis por los del segundo, obtenemos: = 9x⁴ + 3x³ -6x² + 3x³ + x² - 2x -6x² -2x + 4 = = 9x⁴ + x² + 4 + 2(3x²)·x - 2(3x²)·(2) - 2(x)2 =  = 9x⁴ + 6x³ + x² - 12x² - 4x + 4 =  = 9x⁴ + 6x³ -11x² - 4x + 4

 Algunos ejercicios para entender mejor lo aprendido. Ejercicio 1 Resolver un triángulo del que se conoce: el lado b = 73 m y los ángulos A = 43º 30' y B = 65º 40'. Tenemos que hallar los lados a y c, y el ángulo C. El cálculo del ángulo que nos falta es sencillo, puesto que: A + B + C = 180º C = 180º - (A + B) C = 180º - (43º 30' + 65º 40') C = 180º - 109º 10' C = 70º 50' El cálculo de los lados podemos hacerlo a través del teorema del seno . a/sen A = b/sen B => a = b·(sen A/sen B) Sustituyendo: a = 73·(sen 43º 30'/ sen 65º 40') = 73·(0,6884/0,9112) = 55,15 m (aprox.) El otro lado: b/sen B = c/sen C => c = b·(sen C/sen B) Sustituyendo: c = 73·(sen 70º 50'/sen 65º 40') = 73·(0,9446/0,9112) = 75,6 m (aprox.) Ejercicio 2 Resolver el triángulo del que se conocen sus lados a = 20 m y b = 14 m, y el ángulo C = 57º 59'. Tenemos que hallar el lado c, y los ángulo A y B. Aplicando el teorema del coseno podemos calcular el lado que nos falta

 El teorema del coseno dice: a² = b² + c² - 2bc·cos A Si despejamos cos A, tendremos: cos A = (b² + c 2 - a 2 )/2bc (I) Si sumamos o restamos a ambos lados de una igualdad, un mismo número, la igualdad no varía, por tanto a la expresión (I) se le suma la unidad: Realizando las operaciones, queda: 1 + cos A = (2bc + b² + c² - a²)/2bc Pero: 2bc + b² + c² = (b + c)² luego podemos poner: 1 + cos A = [(b + c)² - a²]/2bc Por otro lado, al ser una diferencia de cuadrados: (b + c)² - a² = [(b + c) + a]·[(b + c) - a] (*) Al sustituir nos queda: 1 + cos A = [[(b + c) + a]·[(b + c) - a]]/2bc Por otro, si la expresión (I) la resto ahora de la unidad nos quedará: 1 - cos A = 1 - (b² + c² - a²)/2bc Realizamos las operaciones: 1 - cos A = (2bc - b² - c² + a²)/2bc Pero: 2bc - b² - c² = -(b - c)² luego podemos poner: 1 - cos A = [a² -(b -c)²]/2bc Como se trata de una diferencia de cuadrados: a² - (b - c)² = [a + (b -c)]·[a - (b - c)] Al sustituir nos queda:

 Si recordamos el teorema del seno : a/sen A = b/sen B Aplicando las propiedades de las proporciones que nos dicen que podemos obtener otras fracciones equivalentes, bien sumando los antecedentes y consecuentes, bien restándolos tenemos: a/sen A = b/sen B = (a + b)/(sen A + sen B) = (a - b)/(sen A - sen B) De las dos últimas proporciones se deduce por tanto: (a + b)/(a - b) = (sen A + sen B)/(sen A - sen B) Transformando ahora la suma y la resta de senos en productos : (a + b)/(a - b) = [2sen((A + B)/2)·cos((A - B)/2)]/[2cos((A + B)/2)·sen((A - B)/2)] (1) Como : sen((A + B)/2)/cos((A + B)/2) = tg((A + B)/2) cos((A - B)/2)/sen((A - B)/2) = ctg((A - B)/2) = 1/[tg((A -B)/2)] La fórmula (1) quedará simplificada de la siguiente manera: (a + b)/(a - b) = tg((A + B)/2)·ctg((A - B)/2) O también: (a + b)/(a - b) = tg((A + B)/2)/tg((A - B)/2) Por tanto, la fórmula de la tangente nos dice que: En un triángulo cualquiera, la suma de dos lados, partida por la diferencia de esos mismos lados, es igu

 Supongamos un triángulo oblicuángulo como el representado en la figura de vértices A, B y C; y lados a, b y c. Dibujemos la altura CH de esta manera, y así obtendremos dos triángulos rectángulos ACH y BCH. Se cumple en el triángulo BCH: a² = h² + m² (1) En el triángulo ACH h² = b² - p² (2) Como el segmento c es la suma de m y p (m + p), podemos poner: m = c - p luego m² = (c - p)² = c² + p² - 2cp (3) En la expresión (1) sustituimos los valores de h² y m² obtenidos en las expresiones (2) y (3) respectivamente, con lo que tendremos: a² = b² - p² + c² + p² - 2cp a² = b² + c² - 2cp Como p = b·cos A La fórmula quedará: a² = b² + c² - 2bc·cos A Permutando las letras podríamos obtener una ecuación para cada uno de los lados del triángulo: a² = b² + c² - 2bc·cos A b² = a² + c² - 2ac·cos B c² = b² + a² - 2ba·cos C Esto es lo que se denomina Ley del coseno, que se puede enunciar diciendo: El cuadrado de un lado cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lado

 Supongamos un triángulo oblicuángulos, como el de abajo, de vértices A, B y C y lados a, b y c. Trazamos su altura h, que coincidirá con el segmento CH, el rectángulo oblicuángulo habrá quedado dividido en dos triángulos rectángulos, por un ACH y por otro BCH. En el triángulo se verifica: h = a·sen B h = b·sen A Si los primeros miembros de las dos ecuaciones son iguales, los segundos miembros tienen también que igualarse, luego: a·sen B = b·sen A Expresión que puede expresarse como: a/sen A = b/sen B Cambiando las letras para referirlo al ángulo C, nos quedaría: a/sen A = b/sen B = c/sen C = constante Estas razones serán igual a un número constante, por lo que podemos afirmar que en cualquier triángulo, la razón de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.

 Algunos ejercicios para comprender mejor lo explicado en entradas anteriores. Ejercicio 1 Tenemos que demostrar la siguiente igualdad: cos (a + b) cos (a - b) = cos² a - sen² b Partimos del primer miembro para intentar llegar al segundo: cos (a + b) · cos (a - b) = (cos a cos b - sen a sen b) · (cos a cos b + sen a sen b) Empleando las fórmulas de coseno de una suma y coseno de una diferencia : cos² a cos² b - sen² a sen² b = cos² a(1 - sen² b) - sen² b(1 - cos² a) Sustituimos cos² b y sen² b por los valores obtenidos en la ecuación fundamental sen² ɑ + cos² ɑ = 1.  Eliminado paréntesis y simplificando: cos² a cos² b - sen² a sen² b = cos² a - sen² b Ejercicio 2 Tenemos que demostrar la siguiente igualdad: (cos a + sen a)² = sen 2a + 1 Hacemos transformaciones sucesivas del primer miembro tratando de llegar al segundo: (cos a + sen a)² = cos² a + sen² a + 2 cos a sen a Recuerda que el seno del ángulo dob

 y = tg x = sen x / cos x Por tanto, el comportamiento de la tangente estará en relación con el de las funciones seno y coseno. Al ser un cociente entre un seno y un coseno, será una función continua en todo el intervalo (0, 2𝛑), excepto en los valores de x para los que se anula el denominador, que son x = 90º y x = 270º, ya que el coseno de estos valores es 0. En efecto, en el caso de 𝛑/2 (90º), si x < 𝛑/2, pero muy próximo a él se cumple que sen x se aproxima a 1, y que el coseno tiene su valor positivo tan pequeño que en realidad tiende a 0, por tanto el resultado de la tangente tendrá un valor positivo muy elevado, con lo que se podrá decir que tiende a +∞. Por otro lado, en el caso de 𝛑/2 (90º), si x > 𝛑/2, pero muy próximo a él, se cumple que el sen x se aproxima a 1, y que el coseno del ángulo tiene un valor negativo tan grande que en realidad tiende a 0, por lo que la tangente tiende a -∞. El mismo razonamiento se aplica para el caso de 3𝛑/2 (270º), donde también pr

 Al igual que la función anterior es periódica, es decir: cos (x + 2𝛑·K) = cos x Por tanto, sólo se va a estudiar en el periodo (0, 2𝛑). Es una función continua en todo el intervalo de estudio (0, 2𝛑).  Al realizar el estudio sobre la circunferencia goniométrica , el valor de la función va a estar siempre comprendido entre en -1 y 1. Así pues, fijándonos en la circunferencia, tendremos: Cuando x crece de 0º a 90º, (1.º cuadrante) entonces el coseno decrece de 1 a 0. Cuando x crece de 90º a 180º (2.º cuadrante), entonces el coseno decrece de 0 a -1. Cuando x crece de 180º a 270º (3.º cuadrante), entonces el coseno crece de -1 a 0. Cuando  x crece de 270º a 360º (4.º cuadrante), entonces el coseno crece de 0 a 1. Su representación gráfica es la siguiente:

 Al tratarse de una función periódica, sólo se va a estudiar en el periodo (0, 2𝛑) Esta función es periódica, es decir, sen (x + 2𝛑·F) = sen x. Es una función continua en todo el periodo de estudio. Al realizar el estudio sobre la circunferencia goniométrica, el valor de la función va a estar comprendido entre -1 y 1. Por tanto, fijándonos en la circunferencia goniométrica tendremos: Cuando x crece de 0º a 90º (1º cuadrante), entonces el seno x crece de 0 a 1. Cuando x crece de de 90º a 180º (2º cuadrante), entonces el seno de x decrece de 1 a 0. Cuando x crece de 180º a 270º, (3º cuadrante), entonces el seno de x decrece de 0 a -1. Cuando x crece de 270º a 360º (4º cuadrante), entonces el seno de x crece de -1 a 0. A continuación, pasamos a representar la gráfica:

 Para facilitar ciertos cálculos es interesante la obtención de una serie de relaciones que nos permitan la transformación de sumas y restas en productos. Partimos primeramente de las fórmulas de los senos del ángulo (a ± b): sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b Sumando las dos expresiones nos queda: sen(a + b) + sen(a - b) = 2 sen a cos b (1) Realizamos un cambio de variable denominando: a + b = A, a - b = B Por lo que: b = (A - B)/2, a = (A + B)/2 Trasladando los cambios a la ecuación (1) nos queda: sen A + sen B = 2sen((A + B)/2)cos((A - B)/2) Restemos ahora las dos ecuaciones de partida para calcular la diferencia: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b - sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b _____________________________________ sen(a + b) - sen (a - b) = 2cos a sen b (2) Realizamos los cambios de variables: A = a + b, B = a - b Por lo que: a = (A + B)/2, b = (A - B)/2 Trasladándolo a la fórmula (2):

 Para deducir las razones trigonométricas de este ángulo hay que recordar primeramente una de las relaciones fundamentales ya estudiadas: cos² ɑ + sen² ɑ = 1 Si de esta igualdad restamos la obtenida para el coseno del ángulo doble tendremos: 1 =  cos² ɑ + sen² ɑ   -cos 2 ɑ  =  cos² ɑ - sen² ɑ   ________________________ 1 -cos 2 ɑ  = 2sen² ɑ   Despejando sen² ɑ: sen² ɑ = ( 1 -cos 2 ɑ)/2 Para eliminar el exponente, sacamos la raíz cuadrada; sen ɑ = √(  ( 1 -cos 2 ɑ)/2) Realizando un cambio de variable: 2 ɑ = a ɑ = a/2 Trasladando el cambio a la fórmula nos queda: sen  a/2 =   √(  ( 1 -cos a )/2) Para el cálculo del coseno, en lugar de restar sumamos las dos expresiones de partida: 1 =  cos² ɑ + sen² ɑ   +cos 2 ɑ  =  cos² ɑ - sen² ɑ   ________________________ 1 + cos 2 ɑ  = 2cos² ɑ  

 Recuerda primero las fórmulas de seno y coseno explicadas en la entrada anterior: cos (ɑ + β) = cos ɑ cos β - sen ɑ sen β sen (ɑ + β) = sen ɑ cos β + cos ɑ sen β Si en dichas fórmulas hacemos β = ɑ nos quedará el ángulo ɑ + ɑ = 2ɑ, y podremos deducir fácilmente el valor de sus razones. cos ( ɑ +  ɑ) = cos  ɑ cos  ɑ - sen  ɑ sen  ɑ Efectuando los productos: cos 2 ɑ = cos² ɑ - sen² ɑ

 La explicación y demostración gráfica requiere unos conocimientos vectoriales, por lo que, por si acaso no los tienes, las omito y paso a los resultados. cos(a + b) = cos a cos b - sen a senb sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b Aplicando la definición de la tangente, podríamos calcularla mediante el cociente de las dos expresiones anteriores: tg(a + b) = sen(a + b)/cos(a + b) tg(a + b) = (sen a cos b + cos a sen b)/(cos a cos b - sen a sen b) Dividiendo numerador y denominador entre cos a cos b nos queda: tg(a + b) = [(sen a cos b)/(cos a cosb) + (cos a sen b)/(cos a cos b)]/[(cos a cos b)/(cos a cosb) - (sen a sen b)/(cos a cos b)] Simplificando la expresión anterior tendremos: tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a tg b)

 Como siempre, algunos ejercicios para comprender mejor lo estudiado en entradas anteriores. Ejercicio 1 Demostrar las siguientes identidades: 30º = 𝛑/6 270º = 3𝛑/2 Podemos plantear las siguientes reglas de tres: 1 radian___________180º/𝛑 x radianes__________30º Resolviendo: x = 30º/(180º/𝛑) = 𝛑/6; 30º = 𝛑/6 Para el segundo caso: 1 radian______________180º/𝛑 x radianes_____________ 270º Resolviendo: x = 270º/(180º/𝛑) = 270𝛑/180 = 3𝛑/2; 270º = 3𝛑/2 Ejercicio 2 Determinar los valores de las razones trigonométricas del ángulo ɑ, si B es un punto del lado terminal y sus coordenadas son (4, -2). Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa: a² = b² + c²=> a² = (4)² + (-2)²; a² = 20; a= ±√20 = ±2√5 A continuación, aplicamos las definiciones trigonométricas: sen  ɑ = -2/  ( ±2√5) =  ±1/ √5 =  ± √5/5 cos  ɑ = 4/( ±2√5) = ±  2/ √5 = ±  2 √5/5

 Si nos fijamos en las tabla trigonométricas, veremos que sólo nos dan valores aquellos ángulos comprendidos entre 0º-90º, es decir, pertenecientes al primer cuadrante. No obstante, se pueden obtener las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera ɑ, por comparación con un ángulo perteneciente al 1º cuadrante, sin más que tener presente una serie de datos: Si ɑ es mayor que 360º, se divide este ángulo entre 360º, siendo el resto resultante de esta división el ángulo que verdaderamente nos interese en nuestros cálculos, ya que un número entero de vueltas son iguales en valor y signo. Si el resto es un ángulo que tiene su lado terminal en el primer cuadrante, no hay ningún problema. Si el lado terminal se encuentra en el segundo cuadrante, se tendrá que reducir al primero, teniendo en cuenta la relación de ángulos suplementarios . Si el lado terminal se encuentra en el tercer cuadrante, se le restarán 1

 Si dos ángulos, ɑ y β, tienen que cumplir que: β = ɑ + 180º Expresado en radianes β = ɑ + 𝝅 Gráficamente, estos dos ángulos tendrán la forma: Para deducir sus razones trigonométricas, analizamos las simétricas existentes, utilizando los criterios de semejanza o igualdad de triángulos. El seno del ángulo β será igual: sen β = sen(ɑ + 180º) = -sen ɑ Expresado en radianes: sen β = sen (ɑ + 𝝅) = -sen ɑ El coseno del ángulo β: cos β = cos (ɑ + 180º)  = -cos ɑ En radianes: cos β = cos (ɑ + 𝝅) = -cos ɑ La tangente del ángulo β se calcula mediante el cociente entre el seno y el coseno del ángulo, aplicando lo deducido anteriormente tenemos: tg  β = sen(ɑ + 180º)/cos(ɑ + 180º) = -sen ɑ/-cos ɑ = tg ɑ En radianes: tg  β = sen(ɑ + 𝝅)/cos(ɑ + 𝝅) = tg ɑ Resumiendo, podemos decir que si dos ángulos difieren en 180º, sus senos y cosenos son iguales en valor absoluto pero de signo contrario, y sus tangentes son iguales y del mismo signo. Ejemplo Conocidas

 Si dos ángulos difieren en 90º, debe cumplirse que: β = ɑ + 90º Expresándolo en radianes tendremos: β = ɑ + 𝝅/2 Gráficamente, los dos ángulos tendrán la forma: Para saber cuales  son sus razones trigonométricas establecemos semejanzas. Los triángulos ABC y ADE son iguales, ya que son rectángulos y tienen sus lados perpendiculares. El seno del ángulo β es precisamente, en valor absoluto, el coseno de ɑ. Luego: sen β = sen (ɑ + 90) = cos ɑ En radianes: sen β = sen (ɑ + 𝝅/2) = cos  ɑ El coseno de β: cos β = cos ( ɑ + 90º) = -sen  ɑ Expresado en radianes: cos β = cos ( ɑ + 𝝅/2) = -sen  ɑ En cuanto a la tangente, es suficiente con aplicar la definición y lo deducido anteriormente. tg β = sen( ɑ + 90º)/cos(ɑ + 90º) = cos ɑ/-sen ɑ = -cotg ɑ En radianes, tendríamos: tg β = sen( ɑ +  𝝅/2 )/cos(ɑ +   𝝅/2 ) = cos ɑ/-sen ɑ = -cotg ɑ Resumiendo lo anteriormente dicho, podemos afirmar que el seno de un ángulo

 Se denominan ángulos opuestos a aquellos que teniendo el mismo valor absoluto tienen signos contrarios. El opuesto al ángulo ɑ es el ángulo -ɑ. Gráficamente, podríamos representarlos de la siguiente manera: Para calcular sus razones emplearemos un razonamiento análogo a los anteriores, estableciendo las simetrías existente. En resumen: sen(-ɑ) = -sen ɑ cos(-ɑ) = cos ɑ tg(-ɑ) = -tg ɑ Podemos afirmar que cuando los ángulo son opuestos sus cosenos se igualan y las demás razones son opuestas. Ejemplo Conocidas las razones trigonométricas de 45º , calcular las de su ángulo opuesto, -45º. sen(-45º) = -sen 45º = -√2/2 cos(-45º) = cos 45º = √2/2 tg(-45º) = -tg 45º = -1

 Se dice que los ángulos ɑ y β son suplementarios cuando su suma es igual a 180º. Es decir: ɑ + β =180º => ɑ = 180º - β (β = 180º - ɑ) Expresándolo en radianes tendremos: ɑ + β = 𝝅 => ɑ = 𝝅 - β (β = 𝝅 - ɑ) Las razones trigonométricas de estos ángulos se calcularán, al igual que en la entrada anterior , por observación de las simetrías en la figura. El seno de β será igual al seno de (180º - ɑ), que es igual al seno de ɑ. sen β = sen(180º - ɑ) = sen ɑ En radianes: sen β = sen(𝝅 - ɑ) = sen ɑ El coseno de β será igual al coseno de (180º - ɑ), que  es a su vez coseno de ɑ, luego: cos β = cos (180º - ɑ) = -cos ɑ Expresado en radianes: cos β = cos (𝝅 - ɑ) = -cos ɑ La tangente del ángulo β es igual a la tangente de (180º - ɑ), por otro lado, como la tangente es el cociente entre el seno y el coseno, aplicando lo deducido anteriormente tendremos: tg β = tg (180º - ɑ) = sen  ɑ/cos  ɑ tg β = -tg ɑ E

 Se dice que los ángulos ɑ y β son complementarios cuando su suma es igual a 90º. Es decir: ɑ + β = 90º => ɑ = 90º -  β (β = 90º - ɑ) Expresado en radianes sería: ɑ + β = 𝝅/2 =>  ɑ =  𝝅/2 -  β ( β =  𝝅/2 -  ɑ) Para deducir las razones trigonométricas de los ángulos complementarios nos basta con observar atentamente la figura y señalar algunas simetrías: El seno del ángulo  β será igual al seno de (90 -  ɑ), que es precisamente el coseno de  ɑ.   sen  β = sen (90º -  ɑ) = cos  ɑ  En radianes: sen  β = sen (𝝅/2 -  ɑ) = cos  ɑ El coseno de  β será igual al de (90 -  ɑ) y coincidiría con el seno de  ɑ, luego: cos β = cos (90º - ɑ) = sen  ɑ En radianes: cos β = cos (𝝅/2 - ɑ) = sen  ɑ La tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno, luego la tangente de β será igual al seno de  β partido por el coseno de  β, aplicando lo deducido anteriormente tenemos: tg  β = tg(90º - ɑ) = sen(90º -  ɑ)/c

 0º grados sen 0º = 0 => cosec 0º = 1/0 = ∞ cos 0º = 1 => sec 0º = 1/1 = 1 tg 0º = 0 => cotg 0º = 1/0 = ∞ 30º grados sen 30º = 1/2 => cosec 30º = 2 cos 30º = √3/2 => sec 30º = 2√3/3 tg 30º = √3/3 => cotg 30º = √3 45º grados sen 45º = √2/2 => cosec 45º = √2 cos 45º = √2/2 => sec 45º = √2 tg 45º = 1 => cotg 45º = 1 60º grados sen 60º = √3/2 => cosec 60º = 2√3/3 cos 60º = 1/2 => sec 60º = 2 tg 60º = 3 => cotg 60º = √3/3 90º grados sen 90º = 1 => cosec 90º = 1 cos 90º = 0 => sec 90º = ∞ tg 90º = ∞ => cotg 90º = 0

 En cualquier triángulo rectángulo,  por el teorema de Pitágoras tenemos: b² = a² + c² Si ahora dividimos ambos miembros de la igualdad por b² quedará: b²/ b²    = a²/ b²    + c²/ b²   1 =  a²/ b²    + c²/ b² (1) Recordando que: a = b·sen ɑ => sen  ɑ = a/b c = b·cos ɑ => cos ɑ = c/b La expresión (1) se transforma en: 1 = sen² ɑ + cos² ɑ Esta expresión nos permite calcular el sen de un ángulo ɑ cuando nos dan el coseno del mismo ángulo y viceversa.

 Para el estudio de los signos, tenemos que fijarnos en el vector del lado terminal. Vamos a utilizar la circunferencia goniométrica (radio = 1). Signos de un ángulo del 1º cuadrante x es un vector que se orienta hacia la zona positiva del eje de las x, por tanto: cos ɑ = +x => sec ɑ = +1/x "y" es un vector que se orienta hacia la zona positiva del eje de las y, por tanto: sen ɑ = +y => cosec ɑ = +1/y tg ɑ = +y/x => ctg ɑ = +x/y Por lo tanto, en el primer cuadrante, las 6 razones trigonométricas son positivas. Signos de un ángulo del segundo cuadrante x es un vector que se orienta hacia la zona negativa del eje de las x, por tanto: cos ɑ = -x => sec ɑ = -1/x "y" es un vector que se orienta hacia la zona positiva del eje de las y, por tanto: sen ɑ = +y => cosec ɑ = +1/y Como: tg ɑ = sen ɑ /cos ɑ = -y/x => cotg ɑ = -x/y Signos de un ángulo en el tercer c

 Antes de profundizar en el tema, conviene recordar que es un vector. Un vector es un segmento orientado. Por otro lado, tenemos que la suma de dos vectores que forman un ángulo recto es otro vector cuyo origen coincide con el origen del primero y el final del segundo. Un vector que forma un ángulo con el eje de las x, se puede descomponer en sus dos componentes. Teniendo en cuenta esto, así como las zonas positivas y negativas de los ejes cartesianos, pasamos a estudiar las razones de los signos de las razones de un ángulo según el cuadrante. Una circunferencia se divide en cuatro cuadrantes. En el primer cuadrante se encuentran aquellos ángulos comprendidos entre 0º y 90º, encontrándose su terminal en este cuadrante. En el segundo cuadrante se encuentran todos aquellos ángulos comprendidos entre 90º y 180º, encontrándose su terminal en este cuadrante. En el tercer cuadrante, se encuentran todos aquellos ángulos comprendidos entre 180º y 270º, encontrándose su terminal en este cuadran

 El mismo estudio realizado en la entrada anterior vamos a realizarlo ahora en un punto P(x, y) situado sobre una circunferencia de radio r. De acuerdo con las definiciones vistas en la entrada anterior, las razones trigonométricas serán: sen ɑ = y/r => cosec ɑ = r/y cos ɑ = x/r => sec ɑ = r/x tg ɑ = y/x => cotg ɑ = x/y Si ahora consideramos que el radio vale la unidad, tendremos lo que en trigonometría se denomina circunferencia goniométrica y las razones de sen ɑ y coseno ɑ quedarán: sen ɑ = y/1 => sen ɑ = y cos ɑ = x/1 => cos ɑ = x Los estudios posteriores se realizarán sobre circunferencias goniométricas. Ejemplo Encontrar las razones trigonométricas del ángulo ɑ formado cuando el punto P es el final de un lado y tiene como coordenadas (3,4). Tenemos: AB = 3 BC = 4 AC = ? No sabemos el valor del lado AC, que en el triángulo es la hipotenusa; por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras podremos calcular cuanto mide. AC² = AB² + BC² AC² = 9 + 16 = 25; AC = √25; AC =

 Dado un sistema de coordenadas, representamos un triángulo rectángulo, de tal forma que hacemos coincidir el vértice con el eje de coordenadas. Consideremos ahora el ángulo  α, de vértice A, comprendido entre los AC y AB. Pues bien,: Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto a él . En nuestro caso será: BC = AC·sen α Esto implica que: sen  α = BC/AC Por tanto, seno de α es el resultado de dividir el el cateto opuesto entre la hipotenusa.

 El radián se puede definir como aquel ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia. Como ya se sabe, la longitud completa de una circunferencia es de 2𝝅r, el ángulo completo será igual a 2𝝅 radianes; un ángulo llano por ser la mitad de un ángulo completo será igual a 𝝅 radianes, y un ángulo recto por ser la cuarta parte de un ángulo completo es igual a 𝝅/2 radianes. Resumido en un cuadro de equivalencias: Sistema sexagesimal Sistema centesimal Radianes 1 ángulo recto 90º 100 g π /2 1 ángulo llano 180º 200 g π 1 ángulo completo 360º 400 g 2 π

Sistema sexagesimal  Un grado en el sistema sexagesimal coincide con la 1/360 parte del ángulo que realiza todo el giro o ángulo completo. Si dividimos el grado en 60 partes , todas iguales, cada una de esas partes será denominada minuto. Si cada minuto lo dividimos en 60 partes iguales, obtenemos lo que denominaremos segundo. Para representar los grados, minutos y segundos emplearemos la notación: 1 grado = 1º 1 minuto = 1′ 1 segundo = 1″ Ejemplo Realizar la notación de un ángulo que mide 18 grados, 37 minutos, 23 segundos: 18º 37′ 23″ Sistema centesimal Un grado centesimal se obtiene dividiendo el ángulo completo en 400 partes iguales. A igual que el grado sexagesimal, el centesimal es susceptible a divisiones. Si dividimos el grado centesimal en 100 partes iguales, obtenemos el minuto centesimal. Si un minuto centesimal se divide en 100 partes, todas iguales, cada una de ellas se denominará segundo centesima