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 Seguimos con los ejercicios de derivación. Ejercicio 1 Hallar el valor de la derivada primera de las funciones: y = (3/4)x⁴-5x+15, para x = -1 y = √(2x²+14) para x=1 Solución y' = 3x³-5, x = -1, entonces: y' = -3-5 = -8 y' = 4x/(2·√(2x²+14)), x = 1, por lo que: y' = 4/8 = 1/2 Ejercicio 2 Calcular la derivada de las funciones: y = Ln(8x³+32) y = Ln[(x+2)²] Solución y' = 24x²/(8x³ + 32) = 3x²/(x³+4) y' = 2(x+2)/(x+2)² = 2/(x+2) Ejercicio 3 Calcular las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas: y = sen (x²) y = cos (8x) y = tg (5x) Solución y' = 2x·cos (x²) y' = -8·sen (8x) y' = 5·(1 + tg² (5x)) Si tenéis alguna duda a la hora de calcular derivadas, podéis repasar el tema aquí.

 Para entender mejor lo explicado en este tema de derivadas, vamos a realizar algunos ejercicios: Ejercicio 1 Hallar las derivadas de las siguientes funciones: y = -x⁵+3x⁴-5x³+6 y = 6x⁷-(4/5)·x⁵+7x⁴-5x Solución y' = -5x⁴ + 12x³-15x² y' = 42x⁶-4x⁴+28x³-5 Ejercicio 2 Hallar las derivadas de las siguientes funciones: y= (2x + 3)/(2x - 3) y = x³/(x - 4) Solución y' = [2·(2x+3)-2(2x+3)]/(2x-3)² = (4x-6-4x-6)/(2x-3)²=-12/(2x-3)² y'=[3x²·(x - 4) - x³·1]/(x-4)² = (3x³-12x²-x³)/(x-4)²= (2x³-12x²)/(x-4)² Ejercicio 3 Calcular las derivadas de las siguientes funciones; y=(x³-1)² y = (x²+1)⁴ + (x+2)³ Solución y' = 2·(x³-1)·(3x²) = 6x⁵-6x² y' = 4·(x²+1)³·2x + 3·(x+2)² = 8x(x²+1)³+3·(x+2)²

 Primera consideración La regla de L'Hopital es válida con la consideración de que en un cierto entorno del valor a no pueda anularse simultáneamente f'(x) y g'(x), excepto en el punto a, donde ambas pueden ser nulas o no existir. Tampoco puede anularse el denominador en un entorno reducido de a. Segunda consideración Que pueda existir el siguiente límite, cuando x tiende al valor a: lim f(x)/g(x)  y carecer de este otro límite (cuando x tiende al valor a): lim f'(x)/g'(x) Aplicaremos reiteradamente la regla de L'Hopital si en un punto a se anulan las derivadas primeras, segundas y así sucesivamente, pero no se anulan las enésimas, del numerador y denominador, siendo la de este último distinto de cero en un entorno de a y en un entorno reducido de a no se anulan simultáneamente la derivada del mismo orden, se verifica que  si existe el siguiente límite cuando x tiende al valor a: lim f n (x)/g n (x) exist...

 La regla de L'Hopital, atribuida a Jean Bernoulli, es un sencillo corolario del teorema de Cauchy , Se utiliza para calcular límites indeterminados. Límites de la forma 0/0 Tenemos el límite, cuando x tiende al valor a: lim f(x)/g(x), tal que f(a) = lim f(x) = lim g(x) = g(a) = 0, siendo g(x) distinto de cero en un entorno reducido de a. Si f(x) y g(x) son continuas y con derivadas finitas no nulas simultáneamente en un entorno reducido de dicho punto y el cociente de derivadas tienen un límite finito o infinito para x→a se verifica: lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Ejemplo Calcular el valor del límite cuando x tiende a cero de lim (1-cos x)/x²  Aplicando la regla de L'Hopital, cuando x tiende a 0: lim (sen x)/2x = (cos x) /2 = 1/2 Límites de la forma ∞/∞ La regla de L'Hopital también es válida para el caso en que las funciones f(x), g(x) tengan límites infinitos para x→a: lim f(x) = ∞ y lim g(x) = ∞ (cuand...

 Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a, b] y derivables en  (a, b) siendo g(b) ≠ g(a), y no se anulan simultáneamente las derivadas en ningún punto intermedio y para ningún punto f'(x) = g'(x) = ∞, entonces existe al menos un punto interior para el que: (f(b) - f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(ξ)/g'(ξ), siendo a <ξ<b NOTA: Observa que si g(x) = x se tiene el teorema de los incrementos finitos Demostración Si la función 𝛗 = g(x)·[f(b) - f(a)] - f(x)[g(b)-g(a) ], tal que: 𝛗(b) = 𝞅(a)=0, si aplicamos el teorema de Rolle; 𝛗'(ξ) = 0, con a<ξ<b Derivando 𝛗(x) tendremos: 𝛗'(x) = g'(x)[·[f(b)-f(a)] - f'(x)·[g(b)-g(a)] y para x = ξ 𝛗(ξ) = g'(ξ)[f(b) - f(a)]-f'(ξ)[g(b) - g(a)] = 0 luego f'( ξ)/g'( ξ) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) ya que no puede ser nula g'( ξ). Generalización de la fórmula de Cauchy Si en el punto a se anulan f'(x) y g'(...

 Si f(x) es una función de A en R definida y continua  en el intervalo cerrado A = [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) existe al menos un punto ξ tal que: (f(b) - f(a))/(b-a) = f'(ξ) O lo que es lo mismo: f(b) - f(a) = (b-a)·f'(ξ) que se llama fórmula del incremento finito, que es lo que aplicamos en el cálculo infinitesimal, y expresa el valor de un incremento de la variable por el valor de la derivada en un punto intermedio. Si los extremos del intervalo son x, x + h, todo punto interior se puede representar por x + θh con 0 < θ < 1, el teorema nos da: f(x + h) - f(x) = h·f'(x + θh) con 0<θ<1 NOTA: si f(a) = f(b), tenemos el teorema de Rolle. Demostración Sea la función g(x) = f(x)·(b-a) + x·(f(a)-f(b)) + a·f(b) - b·f(a), que es continua en [a, b] y derivable en (a, b) al igual que f(x) y toma valores iguales a cero en los extremos del intervalo: g(a) = g(b) = 0 Por tanto, podemos aplicar el teorema de Rolle, o sea, existe un punto intermedio ξ t...

Si una función f definida en un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y además, f(a) = f(b), entonces existe un punto a <c<b tal que f'(c) = 0. Demostración Si una función es continua en un intervalo cerrado A = [a, b] entonces será acotada. Además, el extremo superior L de f(a) es accesible y existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = L ≥ f(a) = f(b). Si fuera L = f(a), entonces ∀ x, f(x) = f(a), luego: ∀x, f'(x) = 0 con lo el teorema se cumple para infinitas c . Si L > f(a), vamos a ver que en el punto c ∈ (a, b) para el que f(c) = L se cumple f'(c) = 0. En efecto, por hipótesis existe f'(c), que es límite cuando x tiende a c de (f(x) -f(c))/(x-c), pues c ∈ (a, b); puesto que f(x) ≤ f(c) para todo x del intervalo. Por lo que tenemos: El límite cuando x tiende a c⁺ de ((f(x)-f(c))/(x-c) ≥ 0 El límite cuando x tiende a c⁻ de (f(x) - f(c))/(x-c) ≤0 luego ambos, por existir f...

 Cuando una función f definida en un intervalo A ⊂ R admite función derivada en el subconjunto A₁ ⊂ A, tiene sentido preguntarse si esta función f' es a su vez derivable en algún punto o más aún, en algún subintervalo de A₁. Si existe algún intervalo A₂ ⊂ A en el que existe la función derivada de f', la representamos por (f')' = f''; diremos que es la derivada segunda de la función f. Así, para A = R y f(x) = e x , f' = f''=ex; en cuanto a la función f(x) = Ln(x) definida en (0, ∞), tenemos en (0, ∞), f' = 1/x y f''(x) = -1/x², también definida en todo el intervalo (0, ∞). De modo análogo, se definen las derivadas de cualquier orden n natural, por recurrencia sobre n. Por ejemplo: f = e x , f = f )n (x) = e x para todo n natural. f (x) = sen(x), f (2n (x) = (-1)ⁿ·sen(x); f (2n+1 (x) = (-1)ⁿ·cos(x) De las propiedades de la derivación, deducimos inmediatamente: (f + g)...

Muchos conceptos de Física y Química pueden expresarse mediante derivadas. Si un hecho físico puede representarse por una función, la derivada de esta función representará otros aspectos de dicho fenómeno . Así, por ejemplo, la velocidad, la aceleración...  El espacio recorrido por un móvil será una función del tiempo empleado en el recorrido. Si e = f(t) cuando haya transcurrido un incremento de t en el espacio se habrá cambiado en: Δe = f(t + Δ) - f(t) Se define como velocidad media el cociente: V m = Δe/Δt Si queremos hallar la velocidad instantánea pasaremos a límites (cuando t tienda a cero); v = de/dt Vemos que la velocidad instantánea es la derivada del espacio respecto al tiempo. Con la aceleración ocurre lo mismo, ya que la aceleración media podemos definirla; am = ΔV/Δt si queremos hallar la aceleración instantánea tomaremos los límites (cuando t tiende a 0): a = dV/dt = (d·(de/dt))/dt = d²e/dt² La acelera...

 Sean las funciones f, g f:A→R y g:B→R con f(A) ⊂ B; si f es derivable en a y g es derivable en f(a), entonces (f∘g) es derivable en el punto a y se verifica que (g∘f)'(a) = g'(f(a))·f'(a). Si en un intervalo A⊂R se tienen las condiciones anteriores, la función derivada (g∘f)'(x) es igual al producto g'(f(x))·f'(x). Si queréis la demostración, dejarlo en comentarios.

 Derivada de la función inversa del seno Sea la función y = arc sen u, para calcular su derivada tenemos en cuenta que: y = arc sen u, u = sen y Derivando u' = y'cos y Despejando y': y' = u'/(cos y) como cos  y = √(1-sen² y), sustituimos: y' = u'/(√(1 - sen²y) = u'/(√(1-u²) Ejemplo Calcular la derivada de la función: y = arc sen(5x²+8x) y' = (10x+8)/(√(1 - (5x²+8x)²) = (10x + 8)/√(1-(25x⁴+64x²+80x³)) = (10x+8)/√(1-25x⁴-64x²-80x³) Derivada de la función inversa del coseno Para derivar la función y = arc cos u partimos de que es la función inversa del coseno, por lo que: u = cos y derivando: u' = -y'·sen y Despejando y': y' = -u'/(sen y) = -u'/√(1-cos² y) = -u'/√(1 - u²) Ejemplo Calcular la derivada de la función: y = arc cos (3 2x+1 ) y' = -(2·3 2x+1 ·Ln(3))/√(1-(3 2x+1 )² = -(2·3 2x+1 )·Ln(3)/√(1-3 4x+2 ) Derivada de la función inversa de la ...

 Sea f -1 (x) la función inversa de f(x). Vamos a demostrar que la derivada en el punto x = a es (f -1 )'(a) = 1/f'(f -1 (a)) De (f∘f -1 ) = Iₐ (identidad sobre A) resulta que (f∘f -1 )'(a) = 1 = f'(f -1 (a))·(f -1 )'(a) y entonces si f'(f -1 (a)) ≠ 0: (f -1 )'(a) = 1/(f'(f -1 (a))

 Derivada de la función seno Si tenemos la función f(x) = sen x, para hallar su derivada aplicamos la definición de derivada de función en un punto, es decir, el límite cuando x tiende a a de: f'(x) =lim  (f(x)-f(a))/(x-a) = lim (sen x - sen a)/(x-a) = (2cos((x+a)/2)·sen((x-a)/2))/(x-a)  Operando, obtenemos que la expresión de arriba es el producto del límite cuando x tiende a  a de: lim 2cos((x+a)/2)·lim (sen((x-a)/2))/(x-a) Por lo tanto, es igual al límite cuando x tiende a  a de: 2cos(2a/2)·(1/2)·lim ((sen(x-a)/2)/((x-a)/2) y como se sabe que cuando x tiende a 0, el siguiente límite es igual a 0: lim (sen x)/x = 1 tenemos: 2cos·(2a/2)·(1/2) = cos a Si tenemos que f(x) = sen u: f'(x) = cos u ·u' La derivada del seno de una función es igual a la derivada de la función multiplicada por el coseno de la función. Ejemplo Hallar la derivada de: f(x) = sen(2x³+7x) La derivada es: f'(x) = cos(2x³+7x)·(6x²+7) Derivada de la función coseno Para hallar la derivada de la ...

 Podemos distinguir 4 casos: y = a u , siendo a constante. Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln a u = u·Ln a Derivando: y'/y = u'·Ln a entonces, y' = u'·Ln a·y Ejemplo Vamos a hallar la derivada de y = 4 x³+2 . y' = 4 x³+2 ·Ln 4·3x² y=e u Ejemplo Hallar la derivada de y = e 8x⁴ . y' = e 8x⁴ ·32x³ y = e x   Aplicando la regla anterior: y' = e x y = u v   tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln u v = v Ln u derivando: y'/y = v'·Ln u + v·(u'/u) Despejando y':   y' = v'·u v ·Ln u + u v-1 ·v·u' La derivada de una función exponencial y potencial es igual a la suma de los resultados que se obtienen al derivarla como exponencial y potencial. Ejemplo Calcular la derivada de y = (3x-2) (5x²+7) Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln(3x-2)(5x²+7) = (5x²+7)·Ln(3x-2) derivando: y'/y = 10x·Ln(3x-2) + (3/(3x - 2))·(5x²+7) por lo tanto: y...

 Se puede hallar la derivada de una función de una forma sencilla tomando previamente previamente logaritmos neperianos y derivando. Así si: y = f(x) tomando logaritmo neperiano en los dos miembros: Ln y = Ln(f(x)) derivando: y'/y = f'(x)/f(x) despejando y': y' = (f'(x)·y)/f(x) Ejemplo Calcular mediante derivación logarítmica la derivada de la función: y = (3x²-5)/(5x + 1) Tomamos logaritmos neperianos: Ln y = Ln((3x²-5)/(5x+1)) derivando: y'/y = (6x(5x-1)-5(3x²-5))/(5x+1)²/((3x²-5)/(5x+1)) desarrollando la expresión: y'/y = (30x²+6x -15x²+25)/((3x²-5)(5x+1)) = (15x²+6x+25)/(15x³+3x²-25x+5) Despejando y': y' = (3x²-5)/(5x+1)·[ (15x²+6x+25)/(15x³+3x²-25x+5)] Desarrollando la expresión: y' = (45x⁴+18x³+75x²-75x²-30x-125)/(75x⁴+15x³-125x²+25x+15x³+3x²-25x+5) Por lo tanto: y' = (45x⁴+18x³-30x -125)/(75x⁴+30x³-122x²+5)

 Derivada del cociente de dos funciones Si f(x) es una función derivable y j(x) es otra función derivable, f(x)/j(x) también es derivable. (f/j)' = (f·(1/j))' = f·(1/j)' +(1/j)·f' = f(-j'/j²)+f'/j = (-fj'+f''j)/j² = (f'j-fj')/j² La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador  menos el numerador por la derivada del denominador y todo ello dividido por el denominador al cuadrado. Ejemplo Vamos a calcular la derivada de f(x) = 7/(x³-3). f'(x) = ((x³-3)·0 - 7(3x²))/(x³-3)² = -21x²/(x³-3)² Derivada de un polinomio La derivada de un polinomio es igual a la suma de las derivadas de cada uno de sus miembros: Ejemplo Vamos a calcular la derivada del polinomio y = 5x⁷ + 3x⁵ -5x⁴ + 2x³ - 8x² + 9. y' = 35x⁶+15x⁴-20x³+6x² -16x Derivada de una función logarítmica La derivada del logaritmo de una función es igual a la derivada de la función dividido por la función y multiplicado por el logaritmo en ba...

 Derivada de una función constante Si tenemos f(x) = C, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) = (f(x + h) - f(x))/h = (C - C)/h = 0 La derivada de una función constante es igual a cero. De lo anterior se deduce que dos funciones que tienen la misma derivada se diferencian únicamente en la constante. Derivada de la función identidad Sea una función f(x) = x, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h = (x + h -x)/h = 1 La derivada de una función identidad es siempre igual a 1. Derivada de una función x² Si f(x) = x², su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h = ((x + h)² - x²)/h = (x² + 2hx + h² - x²)/h = (2x + h) = 2x La derivada de una función x² es igual al exponente por la variable independiente. Derivada de la función x³ Si f(x) = x³, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) = ...

 La función derivada es la que resulta de asociar a cada punto el valor de la derivada en ese punto. f'(x) = df/dx Interpretación geométrica de la derivada Si tenemos una curva cuya representación gráfica es la de la figura, en ella tenemos un punto A, de abscisa x, y otro punto B, de abscisa (x + h). La tangente a una curva coincide con la derivación de la función en ese punto. Propiedades de la derivación de funciones En primer lugar hay que hacer referencia a la continuidad : Toda función derivable con derivada finita en un punto es continua en dicho punto. Asimismo, si una función tiene derivada a la derecha, entonces es continua a la derecha, si existe la derivada a la izquierda y es finita, la función es continua a la izquierda. Si dos funciones f y g son derivables en un punto a entonces también son derivables en a las funciones f + g, f·g, ƛf (para todo ƛ real), y si f(a) ≠ 0, 1/f. Si queréis comprobar la demostración, ponerlo en comentarios y haré una entrada al respecto.

 Una función f de A→R siendo A un intervalo de R se dice derivable en un punto a ∈ A si existe el límite en R. Es decir, que cuando x tienda al valor a exista el límite de (f(x)-f(a))/(x-a). El límite cuando existe se llama derivada de la función f en el punto a y se indica por f'(a). La consideración de los límites laterales en (f(x)-f(a))/(x-a) permite definir las derivadas a derecha o izquierda de una función en un punto de su campo de definición. Una función f definida en un intervalo A ⊂ R se dice derivable a la derecha , en un punto a ∈ A cuando existe el límite cuando x tiende a a⁺ de (f(x)-f(a))/(x-a). Una función f  se dice derivable por la izquierda cuando existe el límite cuando a x tiende a a⁻ de (f(x)-f(a))/(x-a). Una función derivable en un punto es derivable, simultáneamente, por la derecha y por la izquierda en dicho punto y los dos límites, derivadas a la derecha e izquierda, coinciden.