Derivada de funciones circulares

 Derivada de la función seno

Si tenemos la función f(x) = sen x, para hallar su derivada aplicamos la definición de derivada de función en un punto, es decir, el límite cuando x tiende a a de:

f'(x) =lim  (f(x)-f(a))/(x-a) = lim (sen x - sen a)/(x-a) = (2cos((x+a)/2)·sen((x-a)/2))/(x-a) 

Operando, obtenemos que la expresión de arriba es el producto del límite cuando x tiende a  a de:

lim 2cos((x+a)/2)·lim (sen((x-a)/2))/(x-a)

Por lo tanto, es igual al límite cuando x tiende a  a de:

2cos(2a/2)·(1/2)·lim ((sen(x-a)/2)/((x-a)/2)

y como se sabe que cuando x tiende a 0, el siguiente límite es igual a 0:

lim (sen x)/x = 1

tenemos:

2cos·(2a/2)·(1/2) = cos a

Si tenemos que f(x) = sen u:

f'(x) = cos u ·u'

La derivada del seno de una función es igual a la derivada de la función multiplicada por el coseno de la función.

Ejemplo

Hallar la derivada de:

f(x) = sen(2x³+7x)

La derivada es:

f'(x) = cos(2x³+7x)·(6x²+7)

Derivada de la función coseno

Para hallar la derivada de la función y = cos u, tendremos en cuenta que:

cos u = sen(𝜋/2 - u)

entonces:

y = sen(𝜋/2 -u)

derivando por la regla del seno:

y' = cos(𝜋/2 -u)·(-u')

y el cos(𝜋/2-u) = sen u, entonces:

y' = -u'·sen u

La derivada del coseno de una función es igual a menos la derivada de la función y multiplicada por el seno de la función.

Ejemplo

Vamos a calcular la derivada de:

y = cos(5x⁴-6x)

La derivada será:

 

y' = -(20x³-6)·sen(5x⁴ - 6x)

Derivada de la función tangente

Para calcular la derivada de la función y = tg u(x), sabemos que:

tg u = (sen u)/(cos u)

podemos hallarla como derivada de un cociente, y obtenemos:

y' = u'sec²u = u'(1 + tg²u)

Ejemplo

Hallar la derivada de la función y = tg(x³/2+x/5)

La derivada será:

y' = (3x²/2 + 1/5)/(cos²(x³/2 + x/5)) = (3x²/2 + 1/5)·sec²(x³/2+x/5) = (3x²/2 + 1/5)·[1+tg²(x³/2 + x/5)]

Derivada de la función cotangente

La derivada de la función y = cotg u(x), se obtiene de igual forma que la de la tangente. Sabiendo que:

cotg u = (cos u) /(sen u)

podemos hallarla como la derivada de un cociente y obtenemos:

y' = -u'·cosec²u = -u'·(1 + cotg²u)

Derivada de la función secante

Si y = sec u = 1/(cos u), entonces derivando como un cociente tenemos:

y' = u'·sec u ·tg u

Derivada de la función cosecante

Sea y = cosec u = 1/(sen u), derivando como un cociente obtenemos:

y' = -u'·cosec u·cotag u