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 Ejercicio 1 Tenemos que demostrar que cuando x tiende a infinito, el límite de (x+1)/(x+7) es igual a 1. Solución |(x+1)/(x+7) -1| < 𝜖 ⇔ |(x+1 - x - 7)/(x+7)|<𝜖 ⇔ |-6/(x+7)|<𝜖 Por lo tanto: 6/(x+7) < 𝜖,  (x+7) >6/𝜖 Si tomamos 𝜖 como 0,01, tenemos: x + 7 > 600 => x > 503 Cuando x vale más de 503, entonces (x+1)/(x+7) dista de menos de una centésima y ∀𝜖>0 podemos encontrar un x tal que a partir de él: |(x+1)/(x+7) -1|<𝜖 Ejercicio 2 Tenemos que demostrar que cuando x tiende a 1, el límite de (2x⁴-6x³+x²+3)/(x-1) es igual a -8. Solución Al sustituir el valor de x = 1, en la función tenemos: (2 -6 +1 +2)/(1-1) = 0/0 INDETERMINACIÓN Intentamos resolverla dividiendo: (2x⁴-6x³+x²+3)/(x-1) = 2x³-4x²-3x -3 Al sustituir en la nueva función x=1, tenemos: 2·1 - 4·1 -3·1 - 3 = -8 Ejercicio 3 Tenemos que estudiar la continuidad en el punto de abscisa 1 de la función: x² + 1, x<1 2 x = 1 x + 1 x >1 Solución Comprobamos que tiene límite cuando x ti...

 La función exponencial que toma como base el número e recibe el nombre de función exponencial neperiana. Al ser e > 2, las propiedades de las funciones exponenciales neperianas serán las correspondientes a una función exponencial de base a > 1. Entones se verifica: e⁰ = 1 e -x = 1/x e x+x' = e x ·e x' (e x ) x' = (e x·x' ) La representación gráfica:

 Función exponencial de variable real Podemos ampliar el conjunto original de la función exponencial y llegar a la función exponencial de variable real. Para una mejor comprensión, puedes ir a la entrada anterior. Dominio . La función exponencial está definida para todos los valores de la recta real, es decir, el intervalo (-∞, +∞). Signo . Las imágenes de la función exponencial son positivas. Se verifica que: Si a>1 y x >0, entonces a x >1 Si a>1 y x <0, a x <1 a⁰=1 para cualquier  "a" número real, positivo. Si a<1 y x>0, entonces a x <1 Si a<1 y x<0, entonces a x >1 Variación . Para a>1, la función exponencial es estrictamente creciente. Para a<1, la función exponencial es estrictamente decreciente Continuidad . La función exponencial es continua en cualquier valor de R. Ejemplo Veamos la función exponencial y =3x

 Función exponencial de variable natural Es una función del conjunto de los números naturales distintos del 0, en el conjunto de los números reales, donde a cada número natural n le hacemos corresponder su imagen aⁿ, siendo a ∈ R la base y n el exponente. Ejemplo Veamos 2ⁿ. Dominio . La función exponencial está definida para todos los valores de N*. Signo . Todas las imágenes de esta función son positivas. Crecimiento Cuando a<1, la función exponencial es decreciente, ya que a medida que a aumenta n, la imagen cada vez es menor por tanto, la función es decreciente. Por ejemplo, la función y = (0,8)ⁿ: Si a = 1, la función exponencial es constante. Si a>1, la función exponencial es creciente (visto en el ejemplo anterior ) Una propiedad fundamental de la función exponencial de v...

 Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces para cada punto interior x₀ significa que dado un 𝜖 > 0, existe un número ẟ > 0 que depende de x₀ tal que |x - x₀| < ẟ, implica que |f(x) - f(x₀)| < 𝜖. En general, no podemos esperar que para un 𝜖 > 0 sirva un ẟ fijo para todo el intervalo [a, b]. Esto, sin embargo, puede ocurrir. Cuando es así, la función se llama uniformemente continua en [a, b]. Observa que la continuidad uniforme es una propiedad global. Definición: La continuidad de f(x) en A→R definida en un intervalo A ⊂ R se dice uniforme en A si para cada 𝜖>0 existe un ẟ>0 tal que para cualquier par de puntos x', x'' A, se cumpla |x' - x''| < ẟ, |f(x') - f(x'')| < 𝜖. Ejemplo Sea f(x) = sen (x) Para un 𝜖 cualquiera, |sen(x) - sen(x')| = 2|sen((x-x')/2)·cos((x+x')/2)| < 2·|(x - x')/2|<𝜖. Sin más que tomar |x - x'|...

 Funciones exponencial y logarítmica La función e x es continua y estrictamente creciente en R. Si x tiende a -∞, el límite de e x es 0, y si tiende a +∞, el límite de e x es +∞. La inversa de la función e x es Ln(x) que es también estrictamente creciente y continua. Funciones trigonométricas f(x) = sen x. La gráfica se indica en la figura Esta función es creciente en el intervalo (-𝜋/2,𝜋/2), y también es continua en dicho intervalo: sen(𝜋/2) = 1 sen(-𝜋/2) = -1 Luego está definida la función inversa f -1 (x) = arc sen (x), y es estrictamente creciente y continua en el intervalo [-1, 1]. Luego la gráfica será: Nota que no consideramos la función sen (x) definida en toda la recta real, en la cual sería no inyectiva, sino solamente su restricción al citado intervalo (-𝜋/2,𝜋/2). f(x) = cos(x).  Definida en el intervalo cerrado [0, 𝜋] ...

 Si f:A→R es una función continua en x₀ y g:B→R es una función también continua en f(x₀) y de modo que f(A) ⊂ f(B), entonces g∘f es una función también continua en x₀. La demostración es inmediata: Por ser f(x) continua en x₀, el límite de f(x) cuando x tiende a x₀ es igual a f(x₀). Por ser g(x) continua en f(x₀), el límite de g(x) cuando x tiende a f(x₀) es igual a g(f(x₀)) Por ejemplo: e f(x) , Ln(f(x)), sen(f(x)), etc Vamos a ver ahora una series de cuestiones relativas a las funciones inversas: Sea f(x) una función estrictamente creciente en el intervalo [a, b], entonces existe la función inversa y es estrictamente creciente. En primer lugar, f(x) es estrictamente creciente si xᵢ < xⱼ ⇒ f(xᵢ)<f(xⱼ) y esto se cumple para ∀ xᵢ,xⱼ ∈ [a,b]. Desde luego, si xᵢ≠xⱼ⇒f(xᵢ)≠f(xⱼ), luego la función es biyectiva. Desde luego, estamos considerando como conjunto imagen [f(a), f(b)], la funció...

 Vamos a enunciar algunas propiedades características de las funciones continuas. Si una función f(x) definida en el intervalo R es continua en x₀ y f(x₀) ≠ 0, entonces, en algún entorno de x₀, la función mantiene signo constante el signo de f(x₀) y además existe un valor r >0 tal que en dicho entorno |f(x)| > r. Recíprocamente, si una función es continua en un punto x₀ y en todo entorno de x₀, toma valores positivos o negativos, entonces f(x₀) = 0. Si una función de variable real está definida en un intervalo [a, b], es continua en todo en el intervalo y f(a)·f(b) < 0, entonces existe un punto C ∈ [a, b], tal que f(c) = 0. Esta propiedad se puede enunciar de forma más general: si f(x) es una función continua en [a, b] entonces para cualquier valor K comprendido entre f(a) y f(b) existe un punto c tal que f(c) = K. Si una función está definida en el intervalo cerrado [a, b] y es continua en ...

 Decimos que una función f(x) es continua en un punto x₀ si el límite de f(x), cuando x tiende a x₀, es igual a f(x₀). En definitiva, cuando existe el límite y dicho límite coincide con el valor f(x₀). Tipos de discontinuidad Discontinuidad evitable Existe el límite de f(x) = L, cuando x tiende a x₀, pero no coincide con f(x₀). Se trata de una discontinuidad evitable. Se puede evitar dando a f(x₀) el valor L. Discontinuidad de 1º especie Si no existe lim f(x), cuando x tiende a x₀, pero existen los límites laterales. Por lo tanto, dichos límites laterales serán distintos. Se llama salto o valor de la discontinuidad al valor absoluto de la diferencia de los límites laterales. Las funciones escalera tienen discontinuidades evitables o de primera especie. Discontinuidad de 2ª especie No existe el límite de f(x) cuando x tiende a x₀ pero tampoco existe alguno o ninguno de los límites laterales.

 Veamos la definición de continuidad en un punto. Sea f(x) una función definida en A = [a, b] siendo A un intervalo cerrado de R. La función f(x) es continua en x₀ ∈ A si ∀𝜖>0 es posible encontrar un ẟ>0 tal que: |x - x₀|<ẟ ⇒ |f(x) - f(x₀)|<𝜖 es decir a todo intervalo abierto con centro f(x₀) H 𝜖 se le puede hacer corresponder un intervalo abierto con centro en x₀ E ẟ (x₀) tal que: (x ∈ E ẟ (x₀))⇒ f(x) H 𝜖 Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en él. La definición de continuidad de una función numérica en un punto x ∈ A del intervalo en el que está definida es equivalente a la siguiente: Una función  definida en un intervalo A ⊂ R es continua en un punto x₀ ∈ A, si y solo si, existe el límite de f(x), cuando x tiende a x₀ y coincide con el valor de f(x₀). La consideración de los límites laterales en una función permite establecer otras definicio...

 A partir de la definición de límite de una función real podemos construir una nueva función φ de modo que si el límite cuando x tiende a x₀ es igual a L, esta nueva función que construimos es: φ(x) = f(x) - L Evidentemente, cuando x tiende a x₀, el límite de φ(x) es igual a 0. A este tipo de funciones tales que tienden a 0, o  al tender x →∞ se les llama infinitésimos . Observa que no se puede hablar de infinitésimo de una manera absoluta. Así, 1/x es un infinitésimo si x tiende a 0, pero no lo es si x tiende a 2. En un punto podemos sustituir la función por la suma del límite de la función en un punto más un infinitésimo. Vamos a empezar viendo la notación O y o que se conocen como notaciones de Bachman. La expresión f(x) = O(g(x)) para x ∈ X, denota que existe una constante real K > 0 y un intervalo X ⊂ A tal que: |f(x)|≤K|g(x)| Análogamente se escribe: f(x) = O(g(x)) si en particular, existe y es finito el límite cu...

 En el cálculo de límites nos encontramos con expresiones cuyo resultado no es previsible: (+∞)+(-∞) (+∞)-(+∞) (-∞)-(-∞) (+∞)·0 (-∞)·0 ±∞/±∞ 0/0 0⁰ (+∞)⁰ 1 +∞ 1 -∞ Al hallar el límite de la suma de funciones, pueden aparecer los casos de indeterminación 1, 2 y 3 cuando calculamos el límite cuando x tiende a x₀ de [f(x) + g(x)]. En el producto pueden aparecer los casos 4 y 5. Para el cociente: pueden aparecer los casos 6 y 7. En la función exponencial, pueden aparecer los siguientes casos de indeterminación 8, 9, 10 y 11.

 Límite de la suma de funciones Si f(x), g(x) son dos funciones definidas en A, y existen, cuando x tiende a x₀: lim f(x) = L, lim g(x) = L' existen, cuando x tiende a x₀: lim {f(x) + g(x)| = lim f(x) + lim g(x) = L + L' Límite del producto de funciones Si existen, cuando x tiende a x₀: lim f(x) = L lim g(x) = L' Entonces: lim [f(x)·g(x)] = lim f(x) · lim g(x) = L·L' Producto de un número real por una función Para todo k ∈ R , cuando x tiende a x₀: lim (k·f(x)) = k·lim f(x) Función simétrica respecto del producto Si existe el límite de f(x) L cuando x tiende a x₀, y además, es distinto de cero, entonces: lim 1/f(x) = 1/L Cociente de funciones Si lim f(x) = L, lim g(x) = L' (L' ≠ 0), cuando x tiende a x₀: lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x) = L/L' Como consecuencia de la propiedad del límite de producto de funciones, tenemos: Si lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀, lim [f(x)]ⁿ = ...

 Vamos a demostrar en esta entrada la unicidad del límite. Si suponemos una función f(x) con dos límites distintos en el mismo punto x₀: L y L'. Fijado 𝜖>0, existirán dos números reales ẟ' y ẟ'' tales que: |x - x₀| < ẟ', x ∈ A, x ≠ x₀ ⇒|f(x) - L| < 𝜖 |x - x₀| < ẟ'', x ∈ A, x ≠ x₀ ⇒|f(x) - L'| < 𝜖 Sea ẟ = min(ẟ', ẟ''), se ve que para los puntos tales que |x - x₀| ≤ ẟ y x ≠ x₀ se verifican las dos implicaciones y como tenemos: |L - L'| = |L - f(x) + f(x) -L'| ≤ |L - f(x)| + |F(x) - L'| < 2𝜖 De aquí se deduce que L = L' = 0, o sea L = L', ya que la desigualdad |L - L'| < 2𝜖 se cumple ∀𝜖>0 y se puede escribir -2𝜖<L - L'<2𝜖. La única forma de conciliar esto es que |L - L'| = 0, con lo que queda demostrada la unicidad del límite.

 La indicación x→x₀ decimos que x se aproxima al valor x₀ (es lo mismo que decir que x tiende a x₀), pero puede tomar valores mayores o menores que x₀, es decir, puede acercarse por la izquierda o por la derecha. Esto nos lleva a conceptos de límites laterales de la función en un punto. Se dice que L es el límite por la derecha de la función f(x) en el punto x₀, cuando para cada número real 𝜖 > 0 existe otro ẟ > 0 tal que 0<x - x₀<ẟ⇒|f(x) - L|<𝜖 y cuando x tiende a x₀⁺,  L = lim f(x) Definimos el límite por la izquierda : si ∀ 𝜖>0, ∃ ẟ tal que 0 < x - x₀<ẟ ⇒|f(x) - L| < 𝜖 y cuando x tiende a x₀⁻ L = lim f(x) La condición necesaria y suficiente para la existencia de límite en un punto x₀ es que existan y sean iguales a los límites laterales. Demostración de la condición necesaria Vamos a demostrar que cuando x tiende a x₀⁺ el lim f(x) es igual cuando x tiende a x₀⁻ = L, por lo que cuando x tiende a x₀,...

 Si f(x) es una función real de variable real de A ⊂ R en R, y g(y) es una función real de variable real de B ⊂ R en R, con f(A) ⊂ f(b) y existe, cuando x tiende a x₀ lim f(x) = L₁, y también existe  cuando y tiende a y₀, lim g(y) = L₂, siendo y₀ = f(x), entonces existe, cuando x tiende a x₀, lim (g∘f)(x), y coincide con, cuando y tiende a y₀, lim g(y) = L₂. Demostración Al ser L₂ = el lim g(y) cuando y tiende a y₀ tendremos que para cada 𝜖 > 0 existe un ẟ > 0 tal que |y - y₀| < ẟ ⇒ |g(y) - L₂| < 𝜖 y al ser L₁ el lim f(x) cuando x tiende a x₀, tendremos que a partir del ẟ anterior, podremos encontrar un ꞵ > 0 tal que |x - x₀| < ꞵ ⇒ |f(x) - L₁| < 𝜖, luego ∀ 𝜖 > 0 ∃ ꞵ/|x - x₀| < ꞵ ⇒ |(g∘f)(x) - L₂| < 𝜖, o sea que cuando x tiende a x₀: lim [(g∘f)(x)] = L₂

 Teorema Sea f una función real definida en A, sea x₀ un punto de acumulación de A Para que f tenga por límite L en el punto x₀, es necesario y suficiente que cualquiera que sea la sucesión xₙ de puntos de A, distintos de x₀, pero que converge hacia x₀, la sucesión de números reales |f(x)| tenga por límite L.   Condición necesaria Suponemos que lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀ y que {xₙ} ⊂ A. Fijado 𝜖>0, por ser el lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀, existe un ẟ>0 tal que para |x - x₀|≤ẟ, x ∈ A, x≠x₀ ⇒|f(x) - L| < 𝜖 Para cada ẟ, por ser lim xₙ = x₀ cuando n tiende a infinito, existe un número natural N tal que n ≥N=> |xₙ - x₀|≤ẟ y xₙ ∈ A, xₙ ≠ x₀, luego ∀𝜖>0 le hacemos corresponder un número natural N, tal que n≥N⇒|f(xₙ) - L|≤𝜖, que es lo que tratábamos de demostrar. Condición suficiente Debe cumplirse que si, cuando n tiende a infinito: lim xₙ = x₀, lim f(xₙ) = L, implica ...

 Esta entrada explica un concepto de la entrada anterior. Demostración que la condición es necesaria Es decir, estamos suponiendo que f(x) = L. Fijado arbitrariamente el número 𝜖>0, consideremos el 𝜖/2, y para este número, en virtud de la hipótesis existirá otro δ>0, tal que |x - x₀|≤δ, x ∈ A, x≠h implica:|f(x) - L|≤𝜖/2. Si x', x'' son dos puntos cualesquiera de A, que verifiquen las condiciones anteriores, podemos escribir: |f(x')-L|≤ 𝜖/2, |f(x'') - L|≤ 𝜖/2 luego: |f(x') - f(x'')| = |f(x') - f(x'') -L +L|≤|f(x') -L| + |L-f(x'')| ≤𝜖/2 + 𝜖/2 = 𝜖 queda por tanto demostrada que la condición es necesaria. Demostración que la condición es suficiente Sea {xₙ} una sucesión de números reales que convergen hacia x₀. Se tiene que xᵢ ∈ A ∀i. Entonces, fijado arbitrariamente el número real ẟ>0 existirá un N, tal que si m≥N, n≥N, |xₘ - x₀|≤ẟ, |xₙ-x₀|≤ẟ. Si en parti...

 Sea x₀ un punto de acumulación del conjunto A. Diremos que la función f tiene en el punto x₀ límite L R y escribiremos: L = lim f(x), cuando x tiende a x₀, si ∀𝜖＞0 ∃ẟ＞0 / ∀x ∈ A tal que 0<|x - a|<ẟ, se tiene 0<|f(x) - L < 𝜖 Recuerda que a ∉ A. Límites infinitos Diremos que la función f(x) tiene por límite +∞ en x₀ punto de acumulación de A, si ∀k, real y positivo, tan grande como queramos se puede determinar un número  ẟ > 0, de modo que se cumpla que si 0<|x - x₀|< ẟ, entonces |f(x)|>k. Y escribiremos, cuando x tiende a x₀ lim f(x) = +∞ Diremos que la función tiene por límite -∞ en el punto x₀ de acumulación de A si ∀k real mayor que cero existe  ẟ>0 de modo que si 0<|x - x₀|< ẟ implica que f(x) < - k, y se escribe, cuando x tiende a x₀: lim f(x) = -∞ Límites en el infinito Un subconjunto de A de R tal que A⋂R⁺ no está acotado, tiene como punto de acumulación ∞...

 Si dos funciones numéricas están definidas sobre un mismo conjunto A, entonces podemos sumarlas y multiplicarlas. Sean f:A→R, g:A→R Se llama función suma de ambas a la función: h:A→R tal que ∀x ∈ A h(x) = f(x) + g(x) Esta suma es asociativa. El conjunto de funciones numéricas definidas sobre un conjunto A forman un grupo aditivo abeliano, la función nula es la función que a cada elemento de A hace corresponder el 0 de R; la función opuesta es la definida por: -f(x) = (-f)(x) En cuanto al producto de funciones definidas sobre el mismo conjunto A: (f·g)(x) = f(x)·g(x) la nueva función es una función numérica definida sobre el mismo conjunto A. El producto es asociativo. Existe elemento unidad respecto del producto, precisamente la función que hace a cada elemento x ∈A le hace corresponder el elemento 1 de R. El producto de funciones numéricas no tiene nada que ver con la composición de funciones que se define en Álgebra. La composici...