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 Dada la función y = log 1/5 x, realizar la representación gráfica. Para ello, damos a la variable x una serie de valores (1/25, 1/5, 1, 5, 25). Realizamos la tabla de valores:

 En este caso vamos a estudiar la función logarítmica y = log 1/2 x, y fijarnos en su representación gráfica. La base de esta función logarítmica es el número real, positivo 1/2. La gráfica de esta función nos está indicando que es una función de tipo decreciente , es decir, al tomar dos números reales x y x´, tales que x´> x, se cumple que log 1/2 x´< log 1/2 x. El campo de existencia es el intervalo (0, ∞) ya que al igual que el caso anterior, los números negativos no tienen logaritmos. Al tomar x valores "positivos" cada vez más grandes, la función y = log 1/2 x irá tomando valores cada vez menores, decreciendo de forma indefinida. Al tomar x valores "positivos" cada vez más cercanos a cero, la función y = log 1/2 x irá tomando cada vez valores mayores, aunque nunca cortará al eje de las "y". Al tomar x el valor de uno, la función y = log 1/2 x tomará el valor de cero. Al tomar x el valor de la base, ...

 Nos vamos a fijar en la función y = log 3 (x) vista en anteriores entradas y en su representación gráfica. La base de esta función logarítmica es el número real, positivo 3. La gráfica nos indica que es una función de tipo creciente, es decir, que tomados 2 números reales x y x´, tales que x´> x, se cumple que log 3 x´> log 3 x. Por ejemplo, si comparamos los valores 27 y 9: 27 > 9 ⇒ log 3 27 > log 3 9 El campo de existencia es el intervalo (0, ∞), ya que por la propia definición logarítmica los números negativos no poseen logaritmos. Al tomar x valores "positivos" cada vez más grandes, la función y = log 3 x irá creciendo también de forma indefinida. Al tomar x valores positivos cada vez más cercanos a 0, la función y = log 3 x irá tomando valores cada vez menores, tendiendo a -∞, aunque nunca cortará al eje de las "y". Al tomar x el valor de uno, la función y = log 3 x tomará el valor de cero. ...

 Veamos esta entrada de una forma directa con el ejemplo numérico visto en esta otra entrada. y = log 3 x Observa que esta función es la inversa de y = 3 x . Realicemos la tabla de valores Representamos Analicemos otro ejemplo, donde la base sea un número mayor que cero, pero menor uno. y = log 1/2 x Esta función es la inversa de la función exponencial: y = (1/2) x Realizamos una tabla de valores: Ya que: log 1/2 1 = 0, puesto que (1/2) 0 = 1 log 1/2 1/2 = 1, puesto que (1/2) 1 = 1/2 log 1/2 1/4 = 2, puesto que (1/2) 2 = 1/4 log 1/2 1/8 = 3, puesto que (1/2) 3 = 1/8 log 1/2 2 = -1, puesto que (1/2) -1 = 2 log 1/2 4= -2, puesto que (1/2) -2 = 4 Representamos el cuadro de valores:

 Anteriormente, estudiamos la función exponencial: x→f(x) = y = a x Pues bien, la inversa de esta función es otra función que cumple: y = a x → f -1 (y) = x A esta inversa f -1 (y) se le representa por la expresión "log a y". Por tanto: f -1 (y) = x = log a y, equivale a y = a x Lo normal en Matemáticas es representar la variable independiente por la letra "x" y la dependiente por la letra "y", entonces escribiremos: f -1 (x) = y = log a x ⇔ x = a x A esta aplicación se la conoce con el nombre de Función logarítmica, y se lee " y es igual al logaritmo en base a del número x ". La base "a" es un número real positivo y distinto de uno, al igual que ocurría con la función exponencial. Ejemplo Tenemos la función logarítmica y = log 3 x Las imágenes de {3, 9, 27} son: f(3) = log 3 3 = 1, ya que 3 = 3 1 f(9) = log 3 9 = 2, ya que 9 = 3 2 f(27) = log 3 27 = 3, ya que 27 = ...

 Algunos ejercicios para comprender mejor la función exponencial. Ejercicio 1 Tenemos que hallar las imágenes de -1, -1/2, 0, 1/2, mediante la función exponencial de base 9. Representar la función en los ejes cartesianos. Para x = -1 → f(-1) = 9 -1 = 1/9 Para x = -1/2 → f(-1/2) = 9 -1/2 = 1/3 Para x = 0 → f(0) = 9 0 = 1 Para x = 1/2 → f(1/2) = 9 1/2 =√9 = 3 Cada par de valores representan un punto en el gráfico cartesiano. Vamos a colocarlos en una tabla de valores para verlo más claramente. Ejercicio 2 Hallar las imágenes de 1, 0, -1 y -2 mediante la función exponencial de base 1/4. Representar la función en unos ejes de coordenadas cartesianas rectangulares. Para x = 1 → f(1) = (1/4) 1 = 1/4 Para x = 0 → f(0) = (1/4) 0 = 1 Para x = -1 → f(-1) = (1/4) -1 = 4 Para x = -2 → f(-2) = (1/4) -2 = 16 Agrupando estos pares de valores en la tabla tend...

 Ahora vamos a fijarnos en la función f:x→(1/2) x vista en una entrada anterior . La base de esta función exponencial es el número real, positivo 1/2. Si miramos la gráfica, ésta nos indica que la función es de tipo decreciente, es decir, que tomados 2 números reales x y x´, tales que x' > x, se cumple que (1/2) x´ < (1/2) x : x'>x ⇒(1/2) x´ < (1/2) x : Decreciente Por ejemplo, si comparamos x = 1, x = 0 1 > 0 ⇒ (1/2) 1 < (1/2) 0 El campo de existencia de la función es el intervalo (-∞,+∞), ya que la función está definida para todos los valores de x∈R. Esto quiere decir que cualquiera que sea el valor de las x, existirá siempre un valor de y, que cumple la función y = (1/2) x . Al tomar x valores positivos cada vez mayores, la función y = (1/2) x irá decreciendo de forma indefinida, aproximándose a cero, aunque no se anulará, es decir, siempre se encontrará la gráfica por encima del eje de las x, nunca se cortará. ...

 Vamos a fijarnos en la función f:x→3 x de la entrada anterior y en su representación gráfica. La base de esta función exponencial es el número real positivo 3. La gráfica nos está indicando que está función es de tipo creciente, es decir, que tomados dos números reales x y x´, tales que x > x´, se cumple que 3 x > 3 x´ . Puedes verlo muy claro revisando las entradas relacionadas. Por ejemplo, si comparamos los valores 2 y 1 de la tabla de valores de esta función: 2 > 1 ⇒ 3 2 > 3 1 Su campo de existencia es el intervalo (-∞, +∞) ya que la función está definida para todos los valores de X∈R. Esto quiere decir que cualquiera que sea el valor de las x, existirá un valor y que cumple la función y = 3 x . Al tomar x valores positivos cada vez mayores, la función y = 3 x irá creciendo también de forma indefinida. Por ejemplo: Al tomar x valores negativos cada vez menores, la función y = 3 x se irá aproximando a 0, au...

 Veamos este tema de forma directa con un ejemplo numérico. Sea la función f:x→3 x Realicemos la tabla de valores: Tomemos otro ejemplo. Sea ahora la función f:x→(1/2) x Realicemos al igual que en el ejemplo anterior, la tabla de valores:

 Tomemos un número real, positivo y distinto de uno "a", que llamaremos base, pues bien la función exponencial de base "a" será una aplicación tal que x→ y = f(x) = a x del conjunto R en R + . La base "a" será siempre un número constante, mientras que el exponente "x" será un número variable. Ejemplo Tomemos un conjunto A formado por los elementos {1, 3, 5}, si aplicamos sobre este conjunto la función exponencial de base 3, las imágenes de los elementos del conjunto A serán las siguientes: Para x = 1 → f(1) = 3 1 = 3 Para x = 3 → f(3) = 3 3 = 27 Para x = 5 → f(5) = 3 5 = 243 Ejemplo Sea A = {0, -2, 4} y la base 5, si aplicamos la función exponencial las imágenes de los elementos serán: Para x = 0 →f(0) = 5 0 = 1 Para x = -2 →f(-2) = 5 -2 = 1/5 2 = 1/25 Para x = 4 → f(4) = 5 4 = 625 Puesto que se trata de una aplicación de R en R x , es decir...