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 Algunos ejercicios sobre diferenciación de funciones: Ejercicio 1 Sea g(x) una función definida y diferenciable para x ≤ x₀. ¿Cómo elegir los coeficientes a, b, c para que la función F(x), la cual es: g(x) si x≤x₀ a(x-x₀)²+b(x-x₀)+c si x > x₀ sea diferenciable dos veces para x ∈ R? Solución Si x<x₀, d²F = d²g= g''(x) Si x>x₀, d²F = 2a F'(x₀) = lim (g(x) - g(x₀))/(x-x₀) = lim (a(x - x₀)² + b(x-x₀) + c -c)/(x-x₀) = g'(x₀)                  x→x₀⁺                                 x→x₀⁺ Como F(x) tiene que ser continua en x₀: lim g(x) = lim a(x-x₀)² + b(x-x₀) + c x→x₀        x→x₀ lim g(x) = c = g(x₀) x→x₀ Al ser continua g(x). Así pues, tenemos: g(x₀) = c g'(x₀) = b En cuanto a la segunda derivada: ...

 Error absoluto El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el verdadero valor V y el aproximado A: E = |V - A| En realidad, el valor de V no puede darse exactamente, sino sólo de modo aproximado dada la imperfección de los instrumentos de medida. Sin embargo, podemos conocer el límite o cota de error. Podemos tomar el valor dx de la diferencial de la función en un punto como un valor aproximado por exceso si es convexa o por defecto si es cóncava, suponiendo un dx suficientemente pequeño en comparación con x. Diferencial logarítmica de una función Llamamos diferencial logarítmica de una función y = f(x) a la diferencial de su logaritmo neperiano. Para calcularla, habrá que realizar dos pasos: Ln (y) = Ln (f(x)) dLn(y) = dLn(f(x)) Desarrollando las diferenciales: dLn(y) = DLn(y)·dx = (y'/y)·dx = dy/y d[Ln(f(x))] = D[Ln(f(x))]·dx = (f'(x)/f(x))·dx = df(x))/f(x) df(x)/f(x) = dy/y Error relativo de una función El error absoluto no nos da una idea clara de la aproxim...

 Se sabe que los valores que hacen máximo o mínimo f(x) derivable deben buscarse entre las raíces de la ecuación f'(x) = 0 (aunque puede haber un entorno en un punto donde la función no sea derivable), Esto equivale a anular la diferencial: df = f'(x)·dx = 0 ya que como x es la variable independiente se tiene que: dx ≠0 Sin embargo, en el caso de una aplicación de función de función y = f(u), u = 𝛗(x), las condiciones yᵤ = 0 y dy = 0 no son equivalentes, se obtienen todos los extremos anulando la diferencial. El empleo de la condición df = 0 permite elegir entre una variable cualquiera. Ejemplo En una elipse, hallar dos diámetros conjugados cuya suma de longitudes sea máxima o mínima: Solución Se toma como variable la longitud ℓ de uno de los diámetros. El otro es ℓ' es tal que; ℓ²+ℓ'² = a² + b² y la cantidad a estudiar es: A = ℓ + √(a²+b²-ℓ²) Realizando la diferencial: dA = (1 - ℓ/√(a²+...

 En las aplicaciones, se supondrá que las diferenciales son infinitésimas (cantidades suficientemente pequeñas) lo que conduce a decir que la diferencial (dy) es un infinitésimo equivalente al incremento (Δy) correspondiente al incremento dx de la variable. Es decir, Δy/dy→1 cuando dx→0 (menos en los puntos donde f'(x) = 0) ya que en estos casos la diferencial no representa la parte principal del incremento. En numerosas circunstancias podrá calcularse dy por medio de Δy con una aproximación de segundo orden, Ejemplo Sea una esfera de radio variable r. Vamos a calcular la diferencial dV de su volumen. Primer método El volumen de la esfera  es V = (4/3)𝜋r³. Si diferenciamos: dV = 4𝜋r²·dr Segundo método Sabemos que dV representa la parte principal del incremento de V. Si se considera un pequeño incremento de área 𝜎 de la esfera y el cono que tiene por vértice el centro de la esfera y cuyas generatrices se apoyan sobre el contorno de 𝜎, dicho cono limita una pequeña porción v...

 La diferencial de una constante es cero. d(f+g) = df + dg d(k·f) = k·df (k es un número real cualquiera) d(f·g) = g·df + f·dg d(n·v·u) = v·u·dn + n·u·dv + n·v·du d(u/v) = (v·du -u·dv)/v² Como esta entrada ha sido muy corta, os voy a explicar otros aspectos de la diferencial:  Si f es derivable n veces y x es variable independiente, se pueden aplicar diferenciales sucesivas . La interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto representa el incremento correspondiente de la curva en dicho punto .

 Sea y = f(u), siendo u = 𝛗(x), la regla de derivación es dₓy/dx = (dᵤy/du)·(dₓy/dx) pero importa observar el diverso significado de las dos diferenciales de u que aquí figuran mientras du es un incremento arbitrario de u, dₓu designa una función de x y dx cuyo valor es 𝛗'(x)·dx, o sea, dy= f'(u)·𝛗'(x)·dx, Si en la igualdad multiplicamos por dx, tenemos: dₓy = f'(u)·dₓu, es decir, mientras que en una fórmula la derivada de una función y = f(u) se va complicando progresivamente a medida que aumenta el número de variables independientes intermedias y en cada caso es preciso tener en cuenta la variable que inmediatamente depende de la función considerada, la fórmula de la diferencial respecto de x de la función f = f(u) es siempre del mismo tipo: dy = f'(u)·du es igual a dy = f'(x)·dx 

 Si una función f es derivable en el punto a, podemos definir en dicho punto una aplicación de R en R de la forma que se sigue: Fijado a, a cada valor h se le hace corresponder el valor f'(a)·h; esta función se expresa df: df(a, h) = f'(a)·h. Cuando f es derivable en todo punto de un intervalo A ∈ R, entonces podemos definir igualmente: df(x, h) = f'(x)·h observa que df es una función de dos variables, que son x y h, y que mientras x ha de estar siempre en A, para h no hay limitación alguna. Ordinariamente, se escribe simplemente df = f'(x) · h; ahora bien, cuando pongamos f(x) = x tendremos df = dx = 1·h, de aquí que generalmente se escriba df = f'(x)·dx. Con el símbolo df o dy hemos designado el producto f'(x)·dx, siendo dx un incremento arbitrario de la variable dependiente x, Hay una diferencial fundamental de significado entre los símbolos dx y dy. Mientras dx es arbitrario, dy depende de la función f(x), del valo...