Error absoluto y relativo de una función

 Error absoluto

El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el verdadero valor V y el aproximado A:

E = |V - A|

En realidad, el valor de V no puede darse exactamente, sino sólo de modo aproximado dada la imperfección de los instrumentos de medida. Sin embargo, podemos conocer el límite o cota de error.

Podemos tomar el valor dx de la diferencial de la función en un punto como un valor aproximado por exceso si es convexa o por defecto si es cóncava, suponiendo un dx suficientemente pequeño en comparación con x.

Diferencial logarítmica de una función

Llamamos diferencial logarítmica de una función y = f(x) a la diferencial de su logaritmo neperiano. Para calcularla, habrá que realizar dos pasos:

1. Ln (y) = Ln (f(x))
2. dLn(y) = dLn(f(x))

Desarrollando las diferenciales:

1. dLn(y) = DLn(y)·dx = (y'/y)·dx = dy/y
2. d[Ln(f(x))] = D[Ln(f(x))]·dx = (f'(x)/f(x))·dx = df(x))/f(x)

df(x)/f(x) = dy/y

Error relativo de una función

El error absoluto no nos da una idea clara de la aproximación con la que ha sido ejecutada una medida. Recurrimos al error relativo para que nos dé una idea clara de la aproximación con que realizamos nuestras medidas.

e = E/V = |V-A|/V

Para el caso de funciones, una aproximación al error relativo viene dada por dy/y, que es la diferencial logarítmica de la función, cuando dx es suficientemente pequeña. De acuerdo con la definición de diferencial logarítmica:

1. El error relativo de un producto es igual a la suma de los errores relativos de los factores.
2. El error relativo de un cociente es igual a la diferencia entre los errores relativos del dividendo y del divisor.
3. El error relativo de una potencia es igual al producto del exponente por el error relativo de la base.