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 Sean P(x, y, z) y P'(x', y', z') puntos inversos. Siendo O el centro de inversión en coordenadas esféricas con el polo en O obtendremos: r·r' = R² 𝝋﹦𝝋' 𝜽=𝜽' para P(r, 𝜽, 𝝋) y P'(r', 𝜽', 𝝋') entonces: x' = r'sen 𝝋' cos 𝜽' = R²/r sen 𝝋 cos 𝜽 = (R²/r)·(x/r) = (R²x)/r² = (R²x)/(x²+y²+z²) y análogamente para y', z', resultando: x' = (R²x)/(x²+y²+z²) y' = (R²y)/(x²+y²+z²) z' = (R²z)/(x²+y²+z²) Si las coordenadas del centro son (𝛼, 𝛽, 𝛾) x' = 𝛼 + [R²(x-𝛼)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²] y' = 𝛽 + [R²(x-𝛽)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²] z' = 𝛾 + [R²(x-𝛾)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²]

 De un plano Si pasa por el polo de inversión, entonces es su propio inverso. Si no pasa por el polo, la inversa es una esfera que pasa por el polo y de centro situado en la normal al plano desde el polo. El plano dado es paralelo al tangente de la esfera por el polo. El diámetro de la esfera es la potencia dividida por la distancia del polo al plano dado. De una esfera La figura inversa de una esfera que pasa por el centro de inversión es un plano perpendicular a la línea que une el polo con el centro de la esfera. La de una esfera que no pasa por el polo es otra esfera.

 Si tenemos una esfera de radio r y centro en 0, llamaremos inversión esférica respecto de 0, a aquella que transforma todo punto de P en un punto P' de la semirrecta OP y que verifique: OP·OP' = r² esta transformación en el espacio es lo que en el plano es una inversión respecto de su circunferencia fundamental. Debido a ello, se conservan las denominaciones de forma análoga. En una inversión esférica, son invariantes los puntos de la esfera de auto-inversión y las rectas o planos que pasan por el centro de la esfera. Cada recta invariante lleva subordinada una involución y en cada plano invariante una involución circular cuyo círculo fundamental es el que resulta de la intersección de la esfera fundamental y el plano invariante. Podemos definir la inversión esférica como la transformación que hace corresponder a todo punto P distinto del centro de la inversión con el punto de corte de la recta OP y el plano polar de P respecto de la esfera fundamental. La inversión esférica y...

 Curvas analagmáticas Son aquellas curvas que mediante una determinación conveniente del centro de la inversión y del módulo son invariantes. Las ecuaciones polares de las curvas analagmáticas respecto del polo como centro de inversión y potencia K serán de la forma: ⍴²+2⍴Kf(𝛼) ±K² = 0 ya que sustituyendo ⍴ = ±K/⍴₁ tenemos: K²±2⍴₁Kf(𝛼)±⍴₁² = 0 que es igual que la anterior. Circunferencias analagmáticas Dada la curva C₁≡F(x²+y²)+2DK²x + 2EK²y + K⁴ = 0 siendo F ≠0, es la circunferencia inversa de: C≡x² + y² + 2Dx + 2Ey + F = 0 Si tienen que ser analagmáticas, tienen que ser equivalentes, y para ello: F = K² o F = -K² D = E = 0 Hay que tener en cuenta entonces que: Si F = K²C₁ = C ecuación de todas las circunferencias ortogonales a la de autoinversión. Si F = -K², D = E = 0, obtenemos la circunferencia de autoinversión.

 Dados los puntos: P₁(⍴₁, 𝛼₁) P₂(⍴₂, 𝛼₂) en un sistema de polo 0: 𝛼₁ = 𝛼₂ ⍴₁·⍴₂ = k² Estos puntos, en un sistema cartesiano de origen O son: P₁(x₁, y₁) P₂(x₂, y₂) y se tendrá: x₁/x₂ = y₁/y₂ =  ⍴₁ /( ⍴₁·⍴₂)    =  ⍴₁ ²/( ⍴₁·⍴₂ ) = (x²₁ + y²₁)/K² = ( ⍴₁·⍴₂ )/ ⍴₂ ² = K²/(x²₂+y²₂) despejando, tenemos: x₁ = x₂(K²/(x²₂+y²₂)) x₂ = x₁((x²₂+y²₂)/K²) y₁ = y₂(K²/(x²₂+y²₂)) y₂ = y₁((x²₂+y²₂)/K²) Mediante estas ecuaciones, dada una curva en polares o en forma cartesiana, podremos determinar su inversa. f(k²/⍴₂, 𝛼₂) = 0 f(x₂(K²/(x²₂+y²₂)),  y₂(K²/(x²₂+y²₂)) = 0 Se puede deducir por tanto: La inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión. La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra homotética de la primera respecto del polo como centro de homotecia y razón R'/R = 𝓟ₒ(C)/K², siendo 𝓟ₒ(C) la potencia de O respecto a la circ...

 Dados dos puntos P y Q y conocida la distancia que los separa, podremos calcular la distancia entre P' y Q': P'Q'/PQ = OQ'/OP ==> P'Q' = QP(OQ'/OP) Si la potencia es K: OQ' = K/OQ sustituyendo: P'Q' = PQ(K/OP·OQ)

 Si el punto P' es interior al círculo fundamental, se traza la perpendicular P'R a OP' hasta cortar a la circunferencia en R y la perpendicular a OR en R, o sea, PR cortará a OP' en P ≡ Inv(P'). Para P exterior al círculo fundamental trazaremos la circunferencia de diámetro OP y si R es uno de los puntos de corte con la fundamental, P' será su proyección ortogonal de R sobre OP: P' = Inv (P) Propiedades Dos puntos inversos son conjugados armónicos respecto a los extremos del diámetro que contiene a P. Dos puntos inversos son conjugados respecto al círculo fundamental. Si tenemos dos puntos P y P' ≡ Inv(P) cualquier circunferencia que pase por ellos se cortará en una semirrecta secante y con origen en O, en los puntos Q y Q', de modo que OP·OP' = OQ·OQ' = r², y por tanto Q y Q' se corresponden en la inversión y la circunferencia que pasa por P y P' corta ...

 Sea el plano 𝜋 y una circunferencia de centro O y radio r que se encuentra en el plano. Llamamos inversión positiva de centro O, o inversión circular respecto de O, la correspondencia que hace pasar a todo punto P de 𝜋 pertenecientes a la semirrecta OP, de modo que: OP· OP' = r² el centro O es el centro o polo. El radio r es el radio del círculo o circunferencia fundamental, el radio al cuadrado es la potencia de la inversión circular. Los puntos P y P' se llaman inversos y homólogos y los que pertenecen a la circunferencia fundamental son invariantes. Por ello, la circunferencia fundamental también recibe el nombre de circunferencia de autoinversión . Cada punto del plano 𝜋 sólo admite un homólogo para r²≠0 y siendo el punto distinto del centro. Al centro le corresponderían todos los puntos del infinito de 𝜋 y ello contradice la biunicividad. Para subsanarlo, se le asigna un solo punto impropio homólogo O'. En la inversión circul...