Fórmulas de transformación en las coordenadas polares

 Dados los puntos:

  • P₁(⍴₁, 𝛼₁)
  • P₂(⍴₂, 𝛼₂)

en un sistema de polo 0:

  • 𝛼₁ = 𝛼₂
  • ⍴₁·⍴₂ = k²

Estos puntos, en un sistema cartesiano de origen O son:

  • P₁(x₁, y₁)
  • P₂(x₂, y₂)
y se tendrá:

x₁/x₂ = y₁/y₂ = ⍴₁/(⍴₁·⍴₂)  = ⍴₁²/(⍴₁·⍴₂) = (x²₁ + y²₁)/K² = (⍴₁·⍴₂)/⍴₂² = K²/(x²₂+y²₂)

despejando, tenemos:
  • x₁ = x₂(K²/(x²₂+y²₂))
  • x₂ = x₁((x²₂+y²₂)/K²)
  • y₁ = y₂(K²/(x²₂+y²₂))
  • y₂ = y₁((x²₂+y²₂)/K²)
Mediante estas ecuaciones, dada una curva en polares o en forma cartesiana, podremos determinar su inversa.
  1. f(k²/⍴₂, 𝛼₂) = 0
  2. f(x₂(K²/(x²₂+y²₂)),  y₂(K²/(x²₂+y²₂)) = 0
Se puede deducir por tanto:
  1. La inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión.
  2. La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra homotética de la primera respecto del polo como centro de homotecia y razón R'/R = 𝓟ₒ(C)/K², siendo 𝓟ₒ(C) la potencia de O respecto a la circunferencia C.


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