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 Producto de dos giros Cuando sus ejes se cortan en un punto. Dados dos giros, G(𝛼, ℓ) y G₁(𝛂₁, ℓ₁), cuyos ejes se cortan en un punto 0, queremos obtener la transformada de la recta r que es perpendicular al plano que contiene a ℓ y a ℓ₁. Si consideramos los giros G'(-𝛼/2, ℓ) y G''(𝛂₁/2, ℓ₁), éstos transformarán la recta r en r₁ y r₂ respectivamente. El producto de los giros se transforma en en el producto de las simetrías S₁ y S₂. S₁→producto de las simetrías que tienen por eje a r₁ y a r. S₂→producto de las simetrías que tienen por eje r₂ y r. El producto de dos giros cuyos ejes se cortan equivale al producto de dos simetrías cuyos ejes también se cortan, entonces equivale a un  giro de amplitud doble a la del ángulo que forman los ejes r₁ y r₂ y de eje perpendicular al plano que determinan éstos en el punto de intersección. Cuando los ejes se cruzan Esta transformación es el producto de dos simetrías cuyos eje...

 Un giro en el espacio es un movimiento en el que se corresponden dos semirrectas Or y Or' de origen común O, y dos semiplanos en el plano 𝜋 que ambas determinan, limitadas por sus rectas respectivas, situados a un mismo lado de ellas. Propiedades En este movimiento, son dobles en el plano el punto O, y por consiguiente, la perpendicular ℓ por O a 𝜋. También es doble todo otro punto P de ℓ por el axioma de rigidez y la conservación del sentido. La recta ℓ, que tiene dobles todos sus puntos, se llama eje de giro. Todos los planos perpendiculares al eje son dobles. Dos puntos homólogos A y A' están en una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje y de centro en él. Dos puntos homólogos equidistan del eje. Este se halla, pues, en el plano de simetría de A y A'. Por ser dobles todos los puntos del eje, resulta que todos los puntos del eje equidistan de cada par de planos homólogos; de donde el eje de giro está en el plano bisector del diedro definido por dos sem...

 Dados los ejes coordenados y O el centro de un giro G, y el punto A' análogo de A en G 𝛼 , observamos que las coordenadas de A' respecto de unos ejes paralelos a los dados y trazados en O₁ son iguales a las de A respecto a otros ejes de origen en O, pero girados un ángulo 𝛼. Sea  O₁(p, q), A(x, y), A'(x', y') x' = x· cos 𝛼 - y·sen 𝛼 y' = x·sen 𝛼 + y·cos 𝛼 que son las ecuaciones del giro. Matricialmente tenemos: x'-p = (x-p)·cos 𝛼 - (y-q)·sen 𝛼 y'-q = (x-p)·sen 𝛼 + (y-q)·cos 𝛼 Si O₁ coincide con O: x'y' = (xy)Q siendo Q igual a: y si O₁ coincide con O, la matriz que define el giro es:

 Se define giro o rotación de centro O y amplitud 𝛼 (𝛼 es un ángulo orientado) como la transformación que hace corresponder a cada punto P del plano el P', de modo que OP = OP', POP' = 𝛼. Si consideramos un punto O, un punto determinado A y un punto arbitrario B, el punto O es invariante en el giro, y A', B' son las transformadas de A y B respectivamente: A' = G(A) B' = G(B) entonces AOA' = BOB' ⟹AOB = A'OB' Los triángulos AOB y A'OB' son iguales. Todo giro es una congruencia y recíprocamente, toda congruencia plana en la que un punto coincide con su transformado es un giro con centro en dicho punto. Propiedades La transformada de una recta es una recta. La transformada de una semirrecta es una semirrecta del mismo sentido. La transformada de una circunferencia es una circunferencia de igual radio, cuyo centro es el transformado del centro de la primera. Co...