Producto de giros

 Producto de dos giros

Cuando sus ejes se cortan en un punto.

Dados dos giros, G(𝛼, ℓ) y G₁(𝛂₁, ℓ₁), cuyos ejes se cortan en un punto 0, queremos obtener la transformada de la recta r que es perpendicular al plano que contiene a ℓ y a ℓ₁.

Si consideramos los giros G'(-𝛼/2, ℓ) y G''(𝛂₁/2, ℓ₁), éstos transformarán la recta r en r₁ y r₂ respectivamente.

El producto de los giros se transforma en en el producto de las simetrías S₁ y S₂.

  • S₁→producto de las simetrías que tienen por eje a r₁ y a r.
  • S₂→producto de las simetrías que tienen por eje r₂ y r.

El producto de dos giros cuyos ejes se cortan equivale al producto de dos simetrías cuyos ejes también se cortan, entonces equivale a un  giro de amplitud doble a la del ángulo que forman los ejes r₁ y r₂ y de eje perpendicular al plano que determinan éstos en el punto de intersección.

Cuando los ejes se cruzan

Esta transformación es el producto de dos simetrías cuyos ejes también se cruzan o bien el producto de un giro por una traslación.

Dada la perpendicular r a los ejes ℓ y ℓ₁, consideramos giros de ejes ℓ y ℓ₁ y amplitud -𝛼/2 y 𝛼'/2 respectivamente que transforman la recta r en r₁ y r₂.

Producto de una traslación por un giro

El producto de una traslación por un giro de eje perpendicular a la dirección de la traslación es un giro alrededor de un eje paralelo a aquél.

Cada giro G(𝛼, ℓ) y G₁(𝛼', ℓ₁) se transforma en el producto de dos simetrías:

  • G(𝛼, ℓ) = Sᵣ·Sᵣ₁
  • G₁(𝛼', ℓ₁) = Sᵣ2 ·Sᵣ

y por lo tanto, el producto de estos giros será a su vez el producto de cuatro simetrías:

G₁(𝛼', ℓ₁)·G(𝛼, ℓ) = (Sᵣ2 ·Sᵣ)·(Sᵣ·Sᵣ₁) = Sᵣ2·Sᵣ₁ = 𝜏u·G(𝛼,ℓ'')

Por lo tanto, a raíz de todo lo explicado podemos afirmar:

  1. El producto de una traslación por un giro alrededor de un eje en la dirección de la traslación es un movimiento helicoidal.
  2. Todo movimiento en el espacio es un movimiento helicoidal.
  3. Todo movimiento puede obtenerse como producto de cuatro simetrías especulares.
  4. Todo movimiento puede reducirse a un producto de dos simetrías axiales.
  5. Las ecuaciones del giro en el espacio se pueden deducir de las del plano con una coordenada más.

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