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 Más ejercicios para comprender mejor lo explicado en este tema. Podéis ver más ejercicios aquí . Ejercicio 1 Hallar las ecuaciones de la traslación cuyo vector es:  u = (-3, 1, 0) Solución Podemos expresarlo en forma matricial: o también: Las ecuaciones de la traslación serían: x' = -3 + x y' = 1 + y z' = z Ejercicio 2 Hallar las ecuaciones del giro cuyo eje es la recta: x = 2 y = 3 orientada en el sentido del eje z, y de ángulo 𝛳 = 45º. Solución Las ecuaciones de giro las obtendremos teniendo en cuenta que: x' = x·cos 𝛳 - y·sen 𝛳 y' = x·sen 𝛳 + y·cos 𝛳 z' = z pero esto sería respecto del eje z y nuestro eje de giro viene dado por: x = 2 y = 3 entonces: x' = (x+2)·cos 45º - (y+3)·sen 45º y' = (x+2)·sen 45º + (y+3)·cos 45º z' = z nos quedará, teniendo en cuenta que cos 45º = sen 45º = √2/2: x' = (√2/2)x -(√2/2)y - √2/2 y'...

 Algunos ejercicios, para comprender mejor lo explicado en este largo tema. Sé que es complicado, y bastante abstracto, así que espero que estos ejercicios os ayuden mejor a comprender el tema. Ejercicio 1 Hallar las ecuaciones de la simetría de eje de 2x + y + 3 = 0 Solución Consideremos un punto (x', y'), homólogo de (x, y) y tenemos: 2(x + x')/2 + (y+y')/2 + 3 = 0 (x'-x)/2 = (y'-y)/1 Por lo tanto: 2(x+x') + (y+y') + 6 = 0 (x'-x)-2(y'-y) = 0 de donde despejamos x' e y': x' = -(6-y-y'-2x)/2 = 2(y'-y) + x y' = -6-y-2x'-2x = (x-x')/2 + y Así que: y' = (3/5)y - (4/5)x -6/5 x' = -(5/3)x - y -4 que son las ecuaciones de simetría. Ejercicio 2 Hallar el centro y ecuaciones de la homotecia de razón -3 que transforma P(-1, 2, 0) en P'(2, -4, 6). Solución Conocidas las ecuaciones generales de una homotecia: x'-a = r(x-a) y'-...

 Sean P(x, y, z) y P'(x', y', z') puntos inversos. Siendo O el centro de inversión en coordenadas esféricas con el polo en O obtendremos: r·r' = R² 𝝋﹦𝝋' 𝜽=𝜽' para P(r, 𝜽, 𝝋) y P'(r', 𝜽', 𝝋') entonces: x' = r'sen 𝝋' cos 𝜽' = R²/r sen 𝝋 cos 𝜽 = (R²/r)·(x/r) = (R²x)/r² = (R²x)/(x²+y²+z²) y análogamente para y', z', resultando: x' = (R²x)/(x²+y²+z²) y' = (R²y)/(x²+y²+z²) z' = (R²z)/(x²+y²+z²) Si las coordenadas del centro son (𝛼, 𝛽, 𝛾) x' = 𝛼 + [R²(x-𝛼)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²] y' = 𝛽 + [R²(x-𝛽)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²] z' = 𝛾 + [R²(x-𝛾)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²]

 De un plano Si pasa por el polo de inversión, entonces es su propio inverso. Si no pasa por el polo, la inversa es una esfera que pasa por el polo y de centro situado en la normal al plano desde el polo. El plano dado es paralelo al tangente de la esfera por el polo. El diámetro de la esfera es la potencia dividida por la distancia del polo al plano dado. De una esfera La figura inversa de una esfera que pasa por el centro de inversión es un plano perpendicular a la línea que une el polo con el centro de la esfera. La de una esfera que no pasa por el polo es otra esfera.

 Si tenemos una esfera de radio r y centro en 0, llamaremos inversión esférica respecto de 0, a aquella que transforma todo punto de P en un punto P' de la semirrecta OP y que verifique: OP·OP' = r² esta transformación en el espacio es lo que en el plano es una inversión respecto de su circunferencia fundamental. Debido a ello, se conservan las denominaciones de forma análoga. En una inversión esférica, son invariantes los puntos de la esfera de auto-inversión y las rectas o planos que pasan por el centro de la esfera. Cada recta invariante lleva subordinada una involución y en cada plano invariante una involución circular cuyo círculo fundamental es el que resulta de la intersección de la esfera fundamental y el plano invariante. Podemos definir la inversión esférica como la transformación que hace corresponder a todo punto P distinto del centro de la inversión con el punto de corte de la recta OP y el plano polar de P respecto de la esfera fundamental. La inversión esférica y...

 Curvas analagmáticas Son aquellas curvas que mediante una determinación conveniente del centro de la inversión y del módulo son invariantes. Las ecuaciones polares de las curvas analagmáticas respecto del polo como centro de inversión y potencia K serán de la forma: ⍴²+2⍴Kf(𝛼) ±K² = 0 ya que sustituyendo ⍴ = ±K/⍴₁ tenemos: K²±2⍴₁Kf(𝛼)±⍴₁² = 0 que es igual que la anterior. Circunferencias analagmáticas Dada la curva C₁≡F(x²+y²)+2DK²x + 2EK²y + K⁴ = 0 siendo F ≠0, es la circunferencia inversa de: C≡x² + y² + 2Dx + 2Ey + F = 0 Si tienen que ser analagmáticas, tienen que ser equivalentes, y para ello: F = K² o F = -K² D = E = 0 Hay que tener en cuenta entonces que: Si F = K²C₁ = C ecuación de todas las circunferencias ortogonales a la de autoinversión. Si F = -K², D = E = 0, obtenemos la circunferencia de autoinversión.

 Dados los puntos: P₁(⍴₁, 𝛼₁) P₂(⍴₂, 𝛼₂) en un sistema de polo 0: 𝛼₁ = 𝛼₂ ⍴₁·⍴₂ = k² Estos puntos, en un sistema cartesiano de origen O son: P₁(x₁, y₁) P₂(x₂, y₂) y se tendrá: x₁/x₂ = y₁/y₂ =  ⍴₁ /( ⍴₁·⍴₂)    =  ⍴₁ ²/( ⍴₁·⍴₂ ) = (x²₁ + y²₁)/K² = ( ⍴₁·⍴₂ )/ ⍴₂ ² = K²/(x²₂+y²₂) despejando, tenemos: x₁ = x₂(K²/(x²₂+y²₂)) x₂ = x₁((x²₂+y²₂)/K²) y₁ = y₂(K²/(x²₂+y²₂)) y₂ = y₁((x²₂+y²₂)/K²) Mediante estas ecuaciones, dada una curva en polares o en forma cartesiana, podremos determinar su inversa. f(k²/⍴₂, 𝛼₂) = 0 f(x₂(K²/(x²₂+y²₂)),  y₂(K²/(x²₂+y²₂)) = 0 Se puede deducir por tanto: La inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión. La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra homotética de la primera respecto del polo como centro de homotecia y razón R'/R = 𝓟ₒ(C)/K², siendo 𝓟ₒ(C) la potencia de O respecto a la circ...

 Dados dos puntos P y Q y conocida la distancia que los separa, podremos calcular la distancia entre P' y Q': P'Q'/PQ = OQ'/OP ==> P'Q' = QP(OQ'/OP) Si la potencia es K: OQ' = K/OQ sustituyendo: P'Q' = PQ(K/OP·OQ)

 Si el punto P' es interior al círculo fundamental, se traza la perpendicular P'R a OP' hasta cortar a la circunferencia en R y la perpendicular a OR en R, o sea, PR cortará a OP' en P ≡ Inv(P'). Para P exterior al círculo fundamental trazaremos la circunferencia de diámetro OP y si R es uno de los puntos de corte con la fundamental, P' será su proyección ortogonal de R sobre OP: P' = Inv (P) Propiedades Dos puntos inversos son conjugados armónicos respecto a los extremos del diámetro que contiene a P. Dos puntos inversos son conjugados respecto al círculo fundamental. Si tenemos dos puntos P y P' ≡ Inv(P) cualquier circunferencia que pase por ellos se cortará en una semirrecta secante y con origen en O, en los puntos Q y Q', de modo que OP·OP' = OQ·OQ' = r², y por tanto Q y Q' se corresponden en la inversión y la circunferencia que pasa por P y P' corta ...

 Sea el plano 𝜋 y una circunferencia de centro O y radio r que se encuentra en el plano. Llamamos inversión positiva de centro O, o inversión circular respecto de O, la correspondencia que hace pasar a todo punto P de 𝜋 pertenecientes a la semirrecta OP, de modo que: OP· OP' = r² el centro O es el centro o polo. El radio r es el radio del círculo o circunferencia fundamental, el radio al cuadrado es la potencia de la inversión circular. Los puntos P y P' se llaman inversos y homólogos y los que pertenecen a la circunferencia fundamental son invariantes. Por ello, la circunferencia fundamental también recibe el nombre de circunferencia de autoinversión . Cada punto del plano 𝜋 sólo admite un homólogo para r²≠0 y siendo el punto distinto del centro. Al centro le corresponderían todos los puntos del infinito de 𝜋 y ello contradice la biunicividad. Para subsanarlo, se le asigna un solo punto impropio homólogo O'. En la inversión circul...

 La ecuación de una transformación es: x' = Ax + By + C y' = Px + Qy + R para que sea una traslación ha de verificarse: A = 1, B = 0, P = 0, Q = 1, C y R cualesquiera Para que sea simetría , ha de verificar: A = Q, B = -P, A²+B² = 1, siendo A ≠ 1 Para que sea semejanza , se verificará: A² + B² = P² + C² = H² Siendo H razón de semejanza y además: AB + PQ = 0

 Dos poliedros semejantes tendrán sus caras homólogas semejantes, sus aristas homólogas semejantes, sus ángulos y diedros homólogos iguales. Para reconocer la semejanza de los poliedros no es preciso comprobar tantas condiciones; basta que se cumplan algunas de ellas para que se cumplan las demás . Vamos a estudiar condiciones suficientes de semejanza en los poliedros más sencillos: los tetraedros. Procederemos como en el plano para la semejanza de triángulos. Sean ABCD y A'B'C'D' los tetraedros dados, llevemos sobre la arista AB (suponemos que es mayor a A'B') el segmento AB'' = A'B' y tracemos por B'' el plano B''C''D'' paralelo a la cara BCD. El tetraedro AB''C''D'' es homotético y, por tanto, semejante del ABCD. Todo criterio que permita afirmar la igualdad (congruencia o pseudo-congruencia) de los tetraedros AB''C''D'' y A...

 Dos figuras del espacio entre cuyos puntos se pueda establecer una correspondencia biunívoca que cumpla las condiciones que se indican a continuación se llamarán semejantes y la transformación que las une, semejanza. Se llama directa si se conserva el sentido del espacio o inversa en caso contrario. El producto de una homotecia por un movimiento o pseudo-movimiento será una transformación que tendrá las propiedades resultantes de una y otra, o sea: A puntos alineados, corresponden puntos alineados en igual orden. A puntos coplanarios, corresponden puntos coplanarios. Los segmentos homólogos son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza. Los ángulos homólogos son iguales. Los diedros homólogos son iguales. En cuanto al sentido del espacio, se conserva si los conservan o los invierten los dos factores, (es decir, si se multiplica una homotecia de razón positiva por un movimiento, o una homotecia de razón negativa por pseudo-movimiento) y se invierte en...

 Se llama semejanza a toda correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano, de modo que si P y Q son dos puntos cualesquiera y P' y Q' sus transformados mediante la semejanza: P'Q' + PQ = K Siendo K la razón de semejanza. Mediante la semejanzas se transforman puntos alineados en alineados y no alineados en no alineados. Si los puntos P, Q, R no están alineados y los transformados P', Q', R' si lo estuvieran, uno de ellos estaría comprendido entre los dos, y por estar alineados, y como: P'R' = K PR P'Q' = K PQ Q'R' = K QR luego  Q'R' = K QR y esto contradice la relación PR < PQ + QR , que es la que es característica para los lados de un triángulo. Análogamente, podemos probar que si P, Q y R son colineales, P', Q' y R' lo son también. En consecuencia: Si Q pertenece al segmento comprendido entre P y R, Q' pertenecerá al segmento P'R'. Las semejanzas transforman triángulos en otros semejantes...

 Del mismo centro El producto de dos homotecias del mismo centro y razones K₁, K₂ es otra homotecia de razón K₁K₂. Como la identidad es una homotecia de razón K = 1, resulta que todas las homotecias con un mismo centro forman un grupo. De distinto centro Demostraremos además por un procedimiento distinto empleado en el plano. El producto de dos homotecias de centros distintos O₁O₂ y de razones no recíprocas K₁ y K₂ es una homotecia de razón K₁K₂ cuyo centro O está alineado con O₁ y O₂. En efecto, sea ABC un triángulo, un triángulo A'B'C' su homólogo, es la homotecia O₁K₁O₂K₂·ABC , y A''B''C'' y A''B''C'' el homólogo de éste en la homotecia, tienen sus lados homólogos paralelos entre sí por serlo a los del triángulo A'B'C', luego son homotéticos. Sea O₃ el centro de homotecia. Lo mismo podemos repetir para otro triángulo ABC determinado por AB y otros cualesquiera D de la primera figura y sus homólogos sucesivos D...

 Sea la homotecia de centro S(p, q, r) y razón K. Sea O(0, 0, 0) el origen de coordenadas tendremos según vimos en la figura y análogamente en el plano x' - p = K(x-p) y'-q = K(y-q) z'-r = K(z-r) o sea: x' = (1-K)p + Kx y' = (1-K)q + Ky z' = (1-K)r + Kz y en forma matricial (1x'y'z') = (1xyz)H siendo H igual a:

 Dado un punto fijo S y un número real K≠ 0 positivo o negativo, hagamos corresponder a todo punto A, distinto de S, otro A' alineado con S tal que SA'/SA = K. Este punto está en la semirrecta SA si K>0 y en la opuesta si K<0 y la correspondencia así definida se llama homotecia de centro O y razón K.  Si K = 1, la homotecia se reduce a identidad. Propiedades De esta definición se desprende (suponiendo K ≠ 1). El centro S es el único punto doble (homólogo de sí mismo). Las rectas que pasan por el centro son dobles. Los planos que pasan por el centro son dobles y los puntos homólogos de estos planos lo son en una homotecia de dicho plano de centro S y razón K de donde: A los puntos de una recta que no pasa por el centro corresponden los de otra paralela. Luego las rectas que pasan por el centro son las únicas del doble. La homotecia conserva la ordenación de los puntos de una recta. Las siguientes rect...

 Esta entrada es continuación de la anterior . Si tenemos K₁K₂ = 1, el centro de la homotecia es impropio y las ecuaciones de transformación serán: x' = (1-K₂)p₂ + K₂(1-1/K₂)p₁ + x'' = (1-K₂)(p₂-p₁)+x'' y' = (1-K₂)q₂ + K₂(1-1/K₂)q₁ + y'' = (1-K₂)(q₂-q₁)+y'' que es una traslación del vector AA' ' paralelo  a la recta que une los centros de las dos homotecias: a = AA' ' = [(1-K₂) (p₂-p₁),  (1-K₂)(q₂-q₁)] Ejemplo Dada la homotecia de razón K = -2, pasamos del punto p(8, 3) al P'(-7, 0). Tenemos que calcular las ecuaciones y el punto homólogo de Q(3, -5). Solución Sabemos que siendo K = -2: x'-p = -2(x-p) y'-q = -2(y-q) como P'(-7, 0) es homólogo de P(8, 3): -7-p = -2(8-p) 0-q = -2(3-q) resolviendo el sistema, tenemos: p =3, q = 2 las ecuaciones quedarán: x' = 3-2(x-3) => x' = 9-2x y' = 2-2(y-2)=> y' = 6-2y para el punto Q(3, -5): x' = 9-2·3 = 3 y' = 6-2(-...

 Del mismo centro El producto de dos homotecias del mismo centro S y de razones respectivas K y K'' es otra homotecia del mismo centro y de razón KK', ya que: SP'/SP = K SP''/SP' = K' Luego: SP''/SP = K·K' De distinto centro Dadas las homotecias H₁ y H₂ de ecuación: (1x'y') = (1xy)H₁ (1xy) = (1x''y'')H₂ de centros S₁(p₁, q₁), S₂(p₂, q₂), y razones K₁ y K₂ respectivamente. Siendo H₁ y H₂ iguales a: El producto de la primera por la segunda da la transformación: (1x'y') = (1x''y'')H₃ siendo H₃ = H₁·H₂, es decir: Si K₂K₁≠1 ⟺ (1x'y')=(1x''y'')H₃ es otra homotecia de centro S₃ y tiene por coordenadas: p₃ = [(1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)p₁]/(1-K₂K₁) (1) q₃ = [(1-K₂)q₂ + K₂(1-K₁)q₁]/(1-K₂K₁) (2) pues x' = (1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)p₁ + K₂K₁x'' = (1-K₂K₁)p₃ + K₂K₁x'' entonces: (1-K₂K₁)p₃ = (1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)...

 Se define una homotecia de centro S y razón K (K es un número positivo o negativo) a la transformación que haciendo corresponder al punto P el P' verifica que: P' pertenece a la recta SP . SP' = K· SP , P' estará situado en la semirrecta SP si K es positivo y en la opuesta si K es negativo. Ecuaciones Sean los puntos P y P' en un sistema de coordenadas de origen O. Sean las coordenadas S(p, q), tendremos entonces: OP' = OS + SP ' SP' = K· SP Por lo que: OP' = OP + K· SP es decir: x' = p + K(x-p) y' = q + K(y-q) o también: x' = (1-K)p + Kx y' = (1-K)q + Ky y en forma matricial: (1x'y') = (1xy)H con H igual: donde: (1xy) = (1x'y')H -1 con H -1 igual a: Sea la homotecia en el plano: H(S, K) y los pares de puntos P, P' y Q, Q': SQ = SP + PQ SQ' = SP' + P'Q' como SP' = K·...