Homotecias en el plano

 Se define una homotecia de centro S y razón K (K es un número positivo o negativo) a la transformación que haciendo corresponder al punto P el P' verifica que:

  • P' pertenece a la recta SP.
  • SP' = K·SP, P' estará situado en la semirrecta SP si K es positivo y en la opuesta si K es negativo.

Ecuaciones

Sean los puntos P y P' en un sistema de coordenadas de origen O. Sean las coordenadas S(p, q), tendremos entonces:

Ejemplo de homotecia en el plano


  • OP' = OS + SP'
  • SP' = K·SP

Por lo que:

OP' = OP + K·SP

es decir:

  • x' = p + K(x-p)
  • y' = q + K(y-q)

o también:

  • x' = (1-K)p + Kx
  • y' = (1-K)q + Ky

y en forma matricial:

(1x'y') = (1xy)H

con H igual:

Matriz H

donde:

(1xy) = (1x'y')H-1

con H-1 igual a:

Inversa matriz H

Sea la homotecia en el plano:

H(S, K)

y los pares de puntos P, P' y Q, Q':

  • SQ = SP + PQ
  • SQ' = SP' + P'Q'

como SP' = K·SP, SQ' = K·SQ, tenemos que P'Q' = K·PQ. Si los puntos homólogos son proporcionales, entonces los triángulos homólogos de una homotecia son semejantes.

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