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 Ejercicio 1 Tenemos que resolver la ecuación x⁶ - 1 = 0, obteniendo las 6 raíces. Tenemos que: x⁶ - 1 = 0 => x⁶ = 1 Por tanto: x = (1) ⅙ Por lo tanto, tenemos que: 1 = 1 + 0i Ahora hallamos las seis soluciones. Para k = 0 1 (0 + 2·0·𝜋)/6 = 1 0º Para k = 1 1 (0 + 2·1·𝜋)/6 = 1 𝜋/3 Para k = 2: 1 (0 + 2·2·𝜋)/6 = 1 2𝜋/3 Para k = 3 1 (0 + 2·3·𝜋)/6 = 1 𝜋 Para k = 4 1 (0 + 2·4·𝜋)/6 = 1 4𝜋/3 Para k = 5 1 (0 + 2·5·𝜋)/6 = 1 5𝜋/3 Ejercicio 2 Hallar la transformada del complejo z definida por: w = 4/(z + 1)², con |z| = 1 Sea z = e i⍺ Por tanto: w = 4/(e i⍺ + 1)² = 4·e -i⍺ /( e i⍺/2 +  e -i⍺/2 )² = (cos ⍺ - i·sen ⍺)/(cos² ⍺/2) = u + vi Por tanto, u = (cos ⍺)/(cos² (⍺/2)), v = -sen ⍺/(cos² (⍺/2)). Se verifica que: √(u² + v²) = 1/(cos² ⍺/2), de donde se deduce: u = (2cos² (⍺/2)  - 1)/(cos² (⍺/2)) = √(u² + v²)·(2/√(u² + v²) - 1) = 2 - √(u² + v²)  Es decir,...

 Ejercicio 1 Expresar en forma binómica y cartesiana y representar el producto de los complejos 6 720º y 2 180º . 6 720º ·2 180º = (6·2) 900º = 12(cos 900º + sen900º·i) Ahora tenemos que calcular el valor del seno y coseno de 900º. Como ya se ve, un ángulo de 900º implica que ha dado más de una vuelta completa a la circunferencia, esto se calcula dividiendo por 360º (1 vuelta de circunferencia). 900º:360º = 2 vueltas completas y de resto 180º. 900 = 2·360º + 180º => sen 900º = sen 180º, cos 900º = cos 180º. Sustituimos estos valores en la expresión trigonométrica, quedando: 12 900º = 12·(cos 900º + sen 900º·i) = 12·(-1 + 0i) = -12 + 0i = (12, 0). Por lo tanto: Expresión binómica: (-12 + 0i) Expresión cartesiana: (-12, 0) Ejercicio 2 Encontrar el complejo resultante de dividir (2 - √3·i) entre √3·i, expresándolo en forma binómica y cartesiana. (2 - √3·i) /√3·i ...

 Esta transformación es bastante común. La función inversa La transformación es w = 1/z o su equivalente z = 1/w. Esta transformación permite establecer una correspondencia punto a punto excepto para w = 0, y para z = 0. En f orma módulo argumental si z = r·e i𝛩 , y w = 𝜌·e iφ , se verifica: 𝜌·e iφ = (1/r)·e -i𝛩 transformación que puede descomponerse en dos: z' = (1/r) · e i𝛩 y w = z' Geométricamente, la primera representa una inversión respecto a la circunferencia de centro el origen y radio unidad. La segunda, una simetría respecto al eje real. Si la transformación hubiese resultado de la forma w = a/z, se obtendría el mismo resultado, solo que una circunferencia de radio a. Como ejemplo se tiene que la región exterior a la circunferencia de radio unidad se transforma en el conjunto de puntos interiores a la circunferencia y viceversa. En forma binómica: w = u + vi = 1/(x + yi) ...

 Transformación W = BZ + C Como composición de las dos anteriores, la transformación W = BZ + C representa un giro de magnitud igual al argumento de B y una homotecia de razón |B|, seguida de una traslación igual a C. Ejemplos Sea W = iz, siendo z = x + yi y w = u + vi. La banda 0<x<1 del plano z se transforma en la banda 0<V<1 del plano w, ya que se trata sencillamente de un giro de magnitud 𝜋/2. Sea W = (1 + i)·z + 2 - i y la región del plano z limitada por los ejes coordenados y por rectas paralelas a los mismos trazadas por el punto (1, 2). La transformación da un nuevo rectángulo obtenido: Por un giro alrededor del origen de amplitud arg(1 + i) = 𝜋/4. Una dilatación de magnitud |1 + i| = √2. Una traslación representada por el vector de componentes (2, -1). Función potencial La transformación es w = z n , y como caso particular w = z². Sea z ...

 Transformación w = z + c En este caso si z es una constante compleja, la transformación queda representada geométricamente por una traslación de magnitud igual al vector c. Sea c = a + bi, resulta que z = x + yi se transforma en w = u + vi, siendo u = x + a, y v = x + b. Es decir, toda curva se transforma en la misma curva trasladada  y una región en la misma región trasladada. Transformación w = BZ B es un número complejo constante. Sea B = b·e i𝜌 , entonces el afijo de z = r·e iθ se transforma en: W = Bz = b·r·e i( θ +  𝜌) es decir, la transformación consiste en una rotación del radio vector del punto z, alrededor del origen, y una dilatación o contracción del radio vector b = |B|. O sea, que una curva o una región se transforma en la curva o región homotética, de razón |B|, girada en ángulo 𝜌. Caso particular Dado un número complejo z = x + yi, si lo multiplicamos por i resulta: i·z = i(x + yi) = xi...

 Las propiedades de una función real se ponen de manifiesto geométricamente por la gráfica de la función, curva o superficie según se trate de una función de una variable, y = f(x), o de dos, z = f(x, y). Cuando se trata de la función w = f(z), siendo w y z variables complejas no se dispone de una representación gráfica tan convincente, puesto que se necesita un plano para representar cada una de las variables, estableciéndose una correspondencia entre los afijos de w y z, o lo que es lo mismo si z = x + yi, y w = u + vi, entre los puntos (x, y) y (u, v). A esta correspondencia entre puntos de los planos se llama transformación de puntos del plano Z en el plano W. Los puntos correspondientes se llaman imágenes uno de otro. La transformación de curvas y regiones da normalmente más información de la función que la transformación entre puntos aislados. Ejemplo Sea la función W = |z| - iy = √(x²+y²) - iy en la que el afijo de z describe la cir...

 Siendo z ∈ C y μ ∈ C. z n = v, e Ln v = e μLn z Si z = a + bi, μ = p + qi: v = e (p + qi)Ln z = e (p + qi)[Ln (√(a² + b²) + (cotg (b/a) + 2K𝜋)i] Caso particular Siendo μ = a (número natural), μ = a₀ z = 𝜌 𝛼 z a = v = e a[Ln 𝜌 +  2K𝜋i] = 𝜌 a [cos a𝛼 + i·sen a𝛼]

Si  Ln μ = Z, entonces e z = μ, siendo z un número complejo z = x + yi; por lo que e x+yi = μ, siendo μ por ejemplo otro complejo. Demostración e x+yi = 𝜌·(cos ⍺ + i·sen ⍺) e x = 𝜌, x =Ln 𝜌 y = ⍺ + 2K𝜋 Por lo que: z = Ln 𝜌 + (⍺ + 2K𝜋)i Es decir, el logaritmo neperiano de un número complejo es otro complejo que tiene por parte real el logaritmo neperiano del módulo y por parte imaginaria el argumento  ⍺ + 2K𝜋, o sea, existen en el campo complejo infinitos logaritmos, todos ellos con la misma parte real y difieren en la parte imaginaria en 2𝜋 el uno del otro . Por tanto, geométricamente estarán en una recta paralela al eje imaginario de abscisas x = Ln  𝜌. Se llama valor principal del logaritmo al valor K tal que: K = Ln 𝜌 + ⍺i Caso particular Reales negativos en el campo complejo Sabemos que en el campo real no tienen logaritmo los reales negativos. Vamos a verlo en...

 Vamos a expresar un número complejo de forma exponencial y decimos que e yi = cosy + iseny. Esto será un automorfismo y representará al número complejo y tendrá las mismas estructuras si se cumple, teniendo en cuenta que u = cos y + i·sen y , y que v = cos y' + i·sen y': u·v = cos(y + y') + i·sen(y + y') = 𝜑(e yi + e y'i ) e x+yi = e x ·e yi = e x ·(cos y + i·sen y) e x'+y'i = e x' ·e y'i = e x ·(cos y' + i·sen y') e x+yi ·e x'+y'i = e x ·e x' [cos(y + y') + i·sen(y + y')] = e(x + x')+(y + y')i El producto de dos complejos es un complejo que tiene como módulo el producto de los módulos y como argumentos la suma de los argumentos, luego la representación es válida y un complejo z = r ⍺ = r·(cos ⍺ + i·sen ⍺). Por tanto, si tenemos: e zi = cos z + i·sen z e -zi = cos(-z) + i·sen(-z) = cos z - i·sen z  entonces: cos ...

 Las raíces enésimas de 1 se dividen en dos clases: Las que no son de orden inferior a n y se llaman primitivas de orden n. Son los elementos de orden n de grupo cíclico. Las demás raíces que serán primitivas de orden inferior a n. Propiedades Se obtienen todas las raíces primitivas de orden n dando a K los valores primos con n y menores que n en la fórmula : 𝟄ₖ = cos(2K𝜋/n) + i·sen(2K𝜋/n) Si ẟ es una raíz de orden h, entonces ẟ h = 1, luego: ẟ h = cos( 2Kh𝜋/n) + i·sen( 2Kh𝜋/n) = 1 Como Kh = n: Si K es primo con n eso solo se cumple cuando h = n, luego serán raíces primitivas de orden n. Si K no es primo con n, llamamos y llamamos K' y n' a los cocientes de K y n por su máximo común denominador, se obtiene δ =  cos( 2K'𝜋/n') + i·sen( 2K'𝜋/n'), siendo K' primo con n' y es δ es raíz primitiva de orden n' ...

 Los productos, cocientes y potencia (de exponente natural) de las raíces enésimas de la unidad son también raíces de orden n. Sean ⍺ y 𝛽 unas raíces enésimas de la unidad. 𝛼ⁿ = 1, βⁿ = 1, tenemos: (𝛼·𝛽)ⁿ = 1, luego el producto es una raíz enésima. (𝛼/𝛽)ⁿ = 1, luego el cociente es también raíz enésima. (𝛼 p )ⁿ = (𝛼ⁿ) p = 1, luego la potencia p-ésima también es raíz n-ésima. Calculada una raíz enésima de un complejo, se obtienen todas las raíces multiplicando por las n-ésimas raíces de la unidad. z 1/n = z 1/n ·1 1/n Si h es entero, entonces S h = 𝟄₀ h + 𝟄₁ h + ... + 𝟄 n-1 h =  ∑𝝐ᵢ h = n, si h es múltiplo entero de n o 0 en otro caso (sumatorio de 0 hasta n-1) Sabemos que 𝟄₀ h = 1 y que 𝟄 k = 𝟄₁ k , por tanto 𝟄₂ = 𝟄₁², 𝟄₃＝𝟄₁³... S n = 1 + 𝟄₁ h + 𝟄₁ 2h + ... + 𝟄₁ (n - 1)h   Se trata de una...

 z = 1 = 1₀ Todas las raíces tendrán módulo 1 y de argumento: 0, 2𝜋/n,..., 2(n - 1)𝜋/n 𝜖₀ = 1, 𝜖₁,...,𝜖ₖ = cos(2K𝜋/n) + i·sen(2K𝜋/n),...,𝜖 n-1 Los afijos en el plano de Gauss son los vértices de un polígono regular de n lados. Y los complejos 𝜖ₖ (K = 0,,,,, n-1) son las raíces enésimas de la unidad. El conjunto de las raíces enésimas de la unidad es un grupo multiplicativo cíclico. NOTA:   Un grupo se dice monógeno si para la ley de multiplicación se puede engendrar por las potencias de un elemento distinto del elemento neutro. Tiene a la fuerza que ser abeliano. Un grupo monógeno finito se llama cíclico. Se llama orden de un elemento al exponente p tal que a p de el elemento neutro. En un grupo cíclico el orden de un elemento es un divisor del orden del grupo. Todo subgrupo de de un grupo cíclico es cíclico. En un grupo finito todo elemento engendra un grupo cíclico. En este grupo, e...

 Raíz cuadrada de un número complejo en forma binómica Dado z = a + bi ∈ C, √z = u ∈ C, tal que u = x + yi, y por tanto u² = z. Entonces (x + yi)² = a + bi, por lo que: x² - y² = a 2xy = b Para resolverlo, se puede hacer de la siguiente manera: x² = 𝛼 -y² = 𝛽 Sustituyendo valores: 𝛼 + 𝛽 = a -4𝛼𝛽 = b² Por lo que: 𝛼 + 𝛽 = a 𝛼𝛽 = -b²/4 Por las fórmulas de Cardano-Viette de resolución de ecuaciones, 𝛼 y 𝛽 serán las raíces de la ecuación: n² -an - (b²/4) = 0 De donde: n = (a ±√(a² + b²))/2 Luego: 𝛼 =  (a +√(a² + b²))/2, 𝛽 =  (a -√(a² + b²))/2 Y por tanto, ...

 Producto de números complejos El producto de dos números complejos en forma polar, es otro complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos. Si: c = m 𝛼 y c' = m' 𝛼' se cumplirá: c·c' = (m·m')( 𝛼+𝛼' ) Ejemplo Hallar el producto de los complejos √3 45º y √6 20º Módulo = √3·√6 = √18 = √(2·3²) = √2·√3² = 3√2 Argumento: 45º + 20º Por lo tanto, el producto será: 3√2 65º Cociente de números complejos El cociente de dos complejos en forma polar es otro complejo que en su forma polar tendrá como módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de argumentos del dividendo y divisor. Por ejemplo, si: c = m 𝛼  y c' = m' 𝛼' se cumplirá: c/c' = (m/m') (𝛼 - 𝛼') Ejemplo Hallar el complejo cociente de 2 180º y √2 30º . Módulo resultante ...

 Dado el complejo z = (a, b) y en forma binómica z = a + bi, este complejo en forma trigonométrica sería z = cos ɑ + isenɑ y en fórmula módulo argumental z = m 𝞪 , siendo m el módulo del vector, que es √(a² + b²) y 𝞪 el argumento, es decir, el ángulo que forma el módulo del vector con el eje OX, admitiendo como positivo el giro de sentido contrario a las agujas del reloj contado a partir del eje OX. Por tanto, tg 𝛼 = b/a, y 𝛼 = arc tg(b/a) De esta manera, podemos pasar de forma binómica a módulo argumental o trigonométrica (y viceversa) z = a + bi a = 𝜌·cos 𝛼, b = 𝜌·sen 𝛼 z = 𝜌(cos 𝛼 + i·sen 𝛼) Operaciones con números complejos en forma trigonométrica Suma de complejos en forma trigonométrica Sean los complejos: z₁ = 𝜌₁(cos 𝛼 + isen 𝛼) z₂ = 𝜌₂(cos 𝛽 + isen 𝛽) Se llama suma de estos complejos al complejo: z = z₁ + z₂ = 𝜌₁cos 𝛼 + 𝜌₂cos 𝛽 + i(𝜌₁sen 𝛼 + 𝜌₂sen 𝛽) Y su módulo es: ...

 El módulo de un número complejo es un número real positivo que mide su tamaño. El módulo se calcula y se representa: z = a + bi → |z| = √(a² + b²) (la determinación positiva) Propiedades del módulo |z| ≥ 0, por la propia definición. |z| = 0 si y solo si z = 0 |z| = | z | = |-z| ya que a² = (-a)²; b² = (-b)² |z + z'| ≤ |z| + |z'| |z·z'| = |z|·|z'| |z/z'| = |z|/|z'| Demostración de la cuarta propiedad z = a + bi; z' = a' + b'i Partimos que (ab' - ba') ≥ 0 Desarrollando el cuadrado, tenemos que a²b'² + b²a'² - 2aa'bb' ≥ 0, y por tanto, a²b'² + b²a'²  ≥ 2aa'bb'. Sumando a los dos miembros de la desigualdad a²a'² + b²b'², tenemos:  a²b'² + b²a'² + a²a'² + b²b'²   ≥ 2aa'bb' + a²a'² + b²b'² Sabemos que: (a² + b²)·(a'² + b'²) ≥ (aa' + bb')² de...

 Al igual que cada número real tiene una correspondencia con un punto de una recta, cada número complejo tiene una correspondencia biunívoca con cada punto de un plano. Las coordenadas de ese punto serán lo que se llama AFIJO del número complejo. Si tomamos como ejes coordenados el de abscisas como la componente real y el de ordenadas como la componente imaginaria, los vectores unitarios en esas direcciones son el vector e y el vector i respectivamente. Entonces el complejo z = (a, b) o z = a + bi será un vector z = ae + bi de componentes a y b que son los afijos del número complejo, o lo que es lo mismo, el extremo del vector de origen en el centro de coordenadas. Así, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector. El módulo del complejo será el módulo del vector, o sea, la longitud de la hipotenusa, y se representa por z o por r. Podríamos ver la aplicación entre el conjunto de los complejos y el de los vectores, viendo que se establece el isomorfismo y la suma de vect...

 Para hallar la potencia de un número complejo z = x + yi se utiliza la fórmula del binomio de Newton. z m = (x + yi) m Usando la fórmula del binomio de Newton: C m,0 x m + C m,1 x m-1 (yi) 1 + C m,2 x m-2 (yi)² + ... + C m,m (yi) m Ejemplos Tenemos que calcular (2 + 3i)⁴. (2 + 3i)⁴ = C 4,0 ·(2)⁴ + C 4,1 ·(2)³·(yi)¹ + C 4,2 ·(2)²·(yi)² + C 4,3 ·(2)¹·(3i)³ + C 4,4 ·(3i)⁴ Aplicando las propiedades de los números combinatorios y de l as potencias de i , tenemos: 1·16 + 4·8·3i + 6·4·9i² + 4·2·27i³ + 1·81·i⁴ lo que es igual a: 16 + 96i - 216 -216i + 81 = -119 - 120i Tenemos que calcular (i⁵ + i⁸)³ Aplicando las potencias de i, tenemos que i⁵ = i y i⁸ = 1, por lo que: (i⁵ + i⁸)³ = (i + 1)³ Resolviendo por el binomio de Newton: (1 + i)³ = C3,0·(1)³ + C3,1·(1)²·(i)¹ + C3,2·(1)¹·(i)² + C3,3·(i)³ Aplicando las propiedades de los números combinatorios y de las potencias de i, tenemos: 1 + 3i + 3·(-1) + (-i) = -2 +2i

 Para calcular la división de dos números complejos, z₁ y z₂, se multiplica dividendo y divisor por el conjugado del divisor. z₁/z₂ = (z₁· z₂ )/(z₂· z₂ ) Ejemplo Tenemos que calcular la división (3 + 2i)/(1 - i). Multiplicamos el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor, que en este caso es (1 + i): (3 + 2i)/(1 - i) = [(3 + 2i)·(1 + i)]/[(1 - i)·(1 + i)] = [(3 - 2) + (2 + 3)i]/(1² + 1²) = = (1 + 5i)/2 = 1/2 + (5/2)i

 Dado un número complejo z = x + yi, definimos el conjugado de z, y lo representamos por z, como el número complejo que tiene la misma parte real que z, y la parte imaginaria opuesta a la parte imaginaria de z: z  = x - yi Ejemplo Calcular los conjugados de los siguientes números complejos: z₁= 3 -2i z₂ = -3i z₃ = 4 La solución es: z₁ = 3 + 2i z₂ = +3i z₃ = 4 Propiedades del conjugado de un número complejo El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de los conjugados de los sumandos. z₁ + z₂ = z₁ + z₂ El conjugado de un producto de números complejos es el producto de los conjugados. z₁ · z₂  =  z₁  ·  z₂ El producto de un número complejo por su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de la parte real y de la par...