Potencias de un número complejo

 Para hallar la potencia de un número complejo z = x + yi se utiliza la fórmula del binomio de Newton.

zm = (x + yi)m

Usando la fórmula del binomio de Newton:

Cm,0xm + Cm,1xm-1(yi)1 + Cm,2xm-2(yi)² + ... + Cm,m(yi)m

Ejemplos

Tenemos que calcular (2 + 3i)⁴.

(2 + 3i)⁴ = C4,0·(2)⁴ + C4,1·(2)³·(yi)¹ + C4,2·(2)²·(yi)² + C4,3·(2)¹·(3i)³ + C4,4·(3i)⁴

Aplicando las propiedades de los números combinatorios y de las potencias de i, tenemos:

1·16 + 4·8·3i + 6·4·9i² + 4·2·27i³ + 1·81·i⁴

lo que es igual a:

16 + 96i - 216 -216i + 81 = -119 - 120i


Tenemos que calcular (i⁵ + i⁸)³

Aplicando las potencias de i, tenemos que i⁵ = i y i⁸ = 1, por lo que:

(i⁵ + i⁸)³ = (i + 1)³

Resolviendo por el binomio de Newton:

(1 + i)³ = C3,0·(1)³ + C3,1·(1)²·(i)¹ + C3,2·(1)¹·(i)² + C3,3·(i)³

Aplicando las propiedades de los números combinatorios y de las potencias de i, tenemos:

1 + 3i + 3·(-1) + (-i) = -2 +2i

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