La unidad imaginaria

 Llamamos unidad imaginaria, y la representamos con la letra "i" a un número que multiplicado por sí mismo, nos da -1, es decir:

i = √-1

Si tenemos un número real "y", llamamos número imaginario al producto y·i.

Ejemplo

Realiza la operación √-100

√-100 = √(100·(-1)) = √ 100·√-1 = 10i (número imaginario)

Potencias de i

Vamos ahora a ver el valor que toman las sucesivas potencias de "i":

• i⁰ = 1; ya que cualquier potencia elevada a 0 es la unidad.
• i¹ = √-1 = i
• i² = (√-1)² = -1
• i³ = i²·i = -i
• i⁴ = i²·i² = 1

A partir de la cuarta potencia, los valores de i se van repitiendo periódicamente, de tal forma que los valores que pueden tomar las potencias son:

i, -1, -i, 1

Esto es fácil de demostrar. Si al exponente le llamamos "m" y este es un número entero, siempre se cumplirá:

m = 4·k + n

Siendo n < 4

Así pues, la unidad imaginaria i, elevada a un número m, tomará el valor:

i^m = i^4k+n

Por el concepto de potencias, tendremos:

i^4k+n = i^4k·iⁿ = (i⁴)^k·iⁿ

Pero anteriormente se demostró que:

i⁴ = 1=> (i⁴)^k =1^k = 1

Por tanto:

i^4k+n = iⁿ

Como el número n es menor que 4, la potencia sólo podrá tener de exponente los números 0, 1, 2, 3, dando sus potencias los valores 1, i, -1, -i respectivamente, tal como se ha indicado en el principio de esta entrada.

Ejemplos

Calcular el valor de i²⁰⁵

205 = 4·51 + 1

Por tanto:

i²⁰⁵ = i^4·51+1 = (i⁴)⁵¹·i¹

Como i⁴ = 1 =>(i⁴)⁵¹ = 1⁵¹ = 1, luego:

i²⁰⁵ = 1·i¹ = i

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Calcular el valor de i^-27 

Según el concepto de potencia: 

i^-27 = 1/i²⁷

Por otro lado:

i²⁷ = i^{4·5 + 3} = i^4·5·i³ = (i⁴)⁵·i³

Como i⁴ = 1 => (i⁴)⁵ = 1⁵ = 1, luego:

i²⁷ = 1·i³

Pero anteriormente se demostró que i³ = -i, por tanto, sustituyendo queda:

i^-27 = 1/i²⁷ = 1/i³ = 1/-i