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  Paralelismo Perpendicularidad Dos rectas a=a'; b=b' aa'-bb'+1 = 0 Recta plano Aa + Bb + C = 0 A/a= B/b=C/1 Dos planos A/A' = B/B' = C/C' AA'+BB'+CC'=0 Un cuadro resumen de las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, explicadas en las anteriores entradas. En las siguientes, intentaré explicar el cálculo de distancias. Gracias por leer y seguir el blog.

 Dada la recta r: x = az + h y = bz + k y el plano 𝜋: 𝜋 ≡ Ax + By + Cz + D El ángulo formado por la recta y el plano será complementario al formado por la recta dada y la normal del plano. Si 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son los ángulos que forma la recta dada con los ejes rectangulares y 𝛼', 𝛽', 𝛾' los que forman la normal al plano tendremos: cos 𝛼 = ±a/√(a²+b²+1) cos 𝛽 = ±b/√(a²+b²+1) cos 𝛾 = ±c/√(a²+b²+1) cos 𝛼' = ± A/√(A²+B²+C²) cos 𝛽' = ± B/√(A²+B²+C²) cos 𝛾' = ± C/√(A²+B²+C²) y como cos(𝜋/2 - 𝜑) = sen 𝜑 = cos 𝛼·cos 𝛼' + cos 𝛽·cos 𝛽' + cos 𝛾· cos 𝛾'. Si sustituimos, tendremos: sen 𝜑 = (Aa + Bb + Cc)/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)] cos 𝜑 = (√[(aB - bA)² + (aC-A)² +(bC -B)²]/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)] A partir de estos valores, podemos hallar la tangente de 𝜑. Paralelismo y perpendicularidad Si la recta es paralela al plano, 𝜑 = 0, y por tanto la condición  d...

 Sean dos rectas cuyas ecuaciones referidas a ejes rectangulares tengan la forma: Recta 1: x = az + h y = bz + k Recta 2: x = a'z + h' y = b'z + k' Los cosenos directores de estas rectas serán: Cosenos directores recta 1: cos 𝛼 = ± a/√(a²+b²+1) cos 𝛽 = ± b/√(a²+b²+1) cos 𝛾 = ± 1/√(a²+b²+1) Cosenos directores recta 2: cos 𝛼' = ± a'/√(a'²+b'²+1) cos 𝛽' = ± b'/√(a'²+b'²+1) cos 𝛾' = ± 1/√(a'²+b'²+1) Si las dos rectas forman un ángulo 𝜑, éste vendrá dado por: cos 𝜑 = cos 𝛼 cos 𝛼' + cos 𝛽 cos 𝛽' + cos 𝛾 cos 𝛾' sabiendo que: v = cos 𝛼 i + cos 𝛽 j + cos 𝛾 k v' = cos 𝛼' i + cos 𝛽' j + cos 𝛾' k   v·v ' = vv'·cos 𝜑 v = v' = 1 Por lo que: cos 𝜑 = vv' Sustituyendo: cos 𝜑 = ± (aa' + bb' + 1)/√[(a²+b²+1)(a'² + b'² + 1)] y de aquí podemos deducir...

 Dado un plano A'''x + B'''y + C'''z + D''' = 0, éste será incidente con los planos Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 A''x + B''y + C''z + D'' = 0 En el punto de incidencia si: 𝚫 = 0 y  Podemos expresarlo como: (A'''B'''C'''D''') = 𝜆(ABCD) + 𝜇(A'B'C'D') + v(A''B''C''D'') Si sustituimos en la ecuación del plano dado tendremos: 𝜆(Ax + By + Cz + D) + 𝜇(A'x + B'y + C'z + D') + v(A''x + B''y + C''z + D'') = 0 que es la radiación de planos cuya base es el punto de incidencia de los planos. Los parámetros 𝜆, 𝜇, v son las coordenadas homogéneas de los planos de radiación. Radiación impropia de planos Se designa así al conjunto de todos los planos que son paralelos a una ...

 Sea la recta x = az + h y = bz + k y el plano Ax + By + Cz + D = 0 Para determinar el punto de intersección resolveremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y nos queda: A(az + h) + B(bz +k) + Cz + D = 0 entonces:  z = (Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C) y = -b[(Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C)] + k x = -a[(Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C)] + h Se dan tres casos: Que se corten en un punto impropio, entonces: Aa + Bb + C ≠ 0 La recta y el plano son paralelos: Aa + Bb + C = 0 Ah + Bk + D ≠ 0 La recta está situada en el plano si se verifica que: Aa + Bb + C = 0 Ah + Bk + D = 0 Recta que pasa por un punto y es paralela a un plano Para hallar la recta paralela a un plano por un punto dado tendremos un problema indeterminado, pues sólo nos imponen tres condiciones. Si hay paralelismo, entonces hay una condición, y que pase por un punto, son dos condiciones; y para calcular los parámetros de la recta, que son cuatro, ...

 Dados un punto P(x₁, y₁, z₁) y la recta: x = az + h y = bz + k tendremos un haz de planos cuya arista será la recta y cuya ecuación: x - az - h +𝜆(y -bz - k) = 0 como el plano debe pasar por P(x₁, y₁, z₁), verificarán la ecuación anterior: x - az₁ - h +𝜆(y₁ -bz₁ - k) = 0 de donde obtendríamos 𝜆, y sustituyendo en la ecuación del haz: ( x - az - h)/( x - az₁ - h) = ( y -bz - k)/ (y₁ -bz₁ - k) para la recta de ecuación: x = my + p x = nz + q el plano: (x-my-p)/ (x₁-my₁-p) = (x -nz -q)/ (x₁ -nz₁ -q) En general, si la recta de intersección de los planos P = 0, P' = 0 y el punto  (x₁, y₁, z₁), la ecuación es: P/P₁ = P'/P'₁

 Dadas dos rectas en la ecuación de forma reducida: x = az + h y = bz + k y  x = a'z + h' y = b'z + k' Si ambas se cortan en un punto o son paralelas (a = a', b = b') se tiene un sistema de cuatro ecuaciones compatibles y la condición de compatibilidad se verifica al eliminar las incógnitas: (a -a')z + (h - h') = 0 (b - b')z + (k - k') = 0 Por lo que: (h-h')/(a-a') = (k - k')/(b-b') (1) Luego si tenemos dos rectas en su forma normal : (x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z - z₁)/r (x-x₂)/p' = (y-y₂)/q' = (z - z₂)/r' de estas ecuaciones obtendremos la condición para que estén en un plano: (x₁, y₁, z₁) => (x₁ + 𝜌p, y₁ + 𝜌q, z₁ + 𝜌r) (x₂, y₂, z₂) => (x₂ + 𝜌p', y₂ + 𝜌q', z₂ + 𝜌r') tenemos entonces Podemos restar la segunda fila de la primera fila, la primera de la tercera, y la segunda de la cuarta. Entonces nos quedaría: Si se ve...

 Veamos algunos ejemplos sobre las posiciones de las rectas: Ejemplo 1 Determinar las posiciones de las rectas x = 1 + 2t y = -1 + 3t z = 3t y x = 3 + 4t y = 2 + 6t z = 1 + 2t Solución Determinaremos el rango de la siguiente matriz: rango(A) = 1, por lo que las rectas coinciden. Ejemplo 2 Determinar las posiciones de las rectas x = -2 + 2t y = 4 z = 3 - 6t y  x = 5 - t y = 6 z = 7 + 3t Procedemos como en el caso anterior, pero con la matriz de coeficientes de t: Pero el rango de: es distinto de 1. Entonces las rectas son paralelas y no coincidentes. NOTA: Si llegamos a obtener una matriz de rango 3, entonces dos rectas que se cruzan. Si necesitáis repasar algún concepto de matrices, rangos... podéis visitar mi otro blog de matemáticas aquí .

 Veamos algunas cosas más sobre las rectas. Radiación de rectas Para una base P₁ las ecuaciones de radiación de rectas son: (x-x₁)/𝜆 = (y-y₁)/𝜇 = (z-z₁)/v siendo (𝜆, 𝜇, v) parámetros llamados coordenadas homogéneas de las rectas en la radiación. Par de rectas  alabeado Dos rectas no coplanarias se cruzan o forman un par alabeado. Sean las rectas: (x-x₁)/p₁ = (y -y₁)/q₁ = (z - z₁)/r₁ (x-x₂)/p₂ = (y -y₂)/q₂ = (z - z₂)/r₂ y los vectores (p₁, q₁, r₁) y (p₂, q₂, r₂) tienen la misma dirección que su correspondientes rectas. Para formar un par alabeado debe cumplirse que estos dos vectores junto con (x₁ - x₂ , y₁ - y₂, z₁ - z₂) sean linealmente independientes. Paralelismo de rectas Para que dos rectas de la forma expresada en el apartado anterior sean paralelas debe cumplirse que: p₁/p₂ = q₁/q₂ = r₁/r₂ Radiación impropia de rectas Se define como todas las rectas del espacio paralelas a una recta dada cuya ec...

 Las ecuaciones paramétricas nos dan las rectas que pasan por un punto P(x₁, y₁, z₁), y según la ecuación normal: x = x₁ + 𝜆p y = y₁ + 𝜆q z = z₁ + 𝜆r (x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z-z₁)/r Expresado en función de los cosenos directores: (x-x₁)/cos 𝛼 =  (y-y₁)/cos 𝛽 =  (z-z₁)/cos 𝛾 Para la forma ordinaria: x = az + h y = bz + k Dado un punto P(x₁, y₁, z₁) de la recta: x₁ = az₁ + h y₁ = bz₁ + k Si eliminamos h y k: x - x₁ = a(z - z₁) y - y₁ = b(z - z₁) (x - x₁)/a =  (y - y₁)/b = (z- z₁)/1 (R1) donde a y b representan los coeficientes angulares de las proyecciones de la recta sobre los planos xz e yz. Como a y b son parámetros variables, el sistema representará una radiación con centro en el punto P₁(x₁, y₁, z₁). Si tenemos otro punto P₂(x₂, y₂, z₂) que también pertenece a la recta: (x₂ - x₁)/a =  (y₂ - y₁)/b =  (z₂ - z₁)/1  (R2) Si dividimo...

 Dadas las ecuaciones paramétricas de la recta: x = x₁ + p𝜌 y = y₁ + q𝜌 z = z₁ + r𝜌 tenemos seis coeficientes: x₁, y₁, z₁, p, q, r; o bien se determinan por dos puntos fijos: x = (x₁ + 𝜆x₂)/(1 + 𝜆) y = (y₁ + 𝜆y₂)/(1 + 𝜆) z = (z₁ + 𝜆z₂)/(1 + 𝜆) obtendremos x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂ En el primer caso se determinan por un punto y una dirección, y en el segundo, por dos puntos. Como una condición en el espacio da lugar a tres ecuaciones, para determinar los seis coeficientes necesitamos dos condiciones geométricas. Si consideramos la forma ordinaria x = az + h y = bz + k tendremos sólo cuatro indeterminadas a, b, h, k y como en este caso con una condición geométrica dada nos dará dos ecuaciones, necesitamos dos ecuaciones para determinar la recta. Para una recta dada en forma normal podemos definirla por la traza sobre un plano coordenado y los parámetros directores; p, q, r o los cosenos directores correspondientes. Tenemos entonces cuatro coeficientes, dos coordenadas no nulas ...

 Para representar una recta, se emplean generalmente las ecuaciones en la forma ordinaria: x = az +h y = bz + k Si pasamos a la ecuación en la forma normal: (x - h)/a = (y-k)/b = (z-0)/1 donde: (h, k, 0) es un punto de la recta => h y k son las dos primeras coordenadas de la traza de la recta sobre el plano xy. a y b son los coeficientes angulares de las proyecciones de la recta sobre los planos xz, yz. Si a la recta dada se le traza una paralela por el origen: x = az y = bz y tomamos un segmento OM = l (𝛼, ꞵ, 𝛾 son los ángulos que forman los ejes con la recta) x₁ = l cos 𝛼 x₂ = l cos ꞵ x₃ = l cos 𝛾 y como M es un punto de la recta M(x₁, y₁, z₁), sustituyendo: l cos 𝛼 = al cos 𝛾 l cos ꞵ = bl cos 𝛾 de donde: cos 𝛼 = a cos 𝛾 cos ꞵ = b cos 𝛾 cos 𝛾 = cos 𝛾 Si ahora elevamos al cuadrado y sumamos: cos² 𝛼 + cos² ꞵ + cos² 𝛾 = a²cos² 𝛾 + b²cos² 𝛾 + cos² 𝛾 = 1  = (a² + b² + 1)·cos² 𝛾 de donde obtenemos: cos 𝛼 = ± a/√(a² + b² + 1) cos 𝛽 = ± b/√(a² + b² + 1) cos 𝛾...

 Veamos algunos ejemplos de representación de la recta. Si necesitas repasar, puedes revisar las entradas relacionadas con el tema, en la primera parte de formas de representar una recta, y su segunda parte . Ejemplo 1 Dada la recta (x-1)/2 = (y+2)/3=(z-3)/-1. tenemos que pasarla a la ecuación en forma ordinaria. Solución Si igualamos las dos ecuaciones: x - 1 = -2z + 6 y+2 = -3z + 9 Por lo tanto, las ecuaciones en forma ordinaria son: x = -2z + 7 y = -3z +7 Ejemplo 2 Dada la recta en ecuación reducida u ordinaria: x = 3y + 1 z = 2y - 5 tenemos que pasarla a la forma continua o normal. Solución Si despejamos y en las dos ecuaciones e igualando: y = (x - 1)/3 y = (z+5)/2 entonces la ecuación en forma continua es: (x -1)/3 = y/1 = (z+5)/2 Ejemplo 3 Obtener la ecuación de recta que pasa por los puntos A(3, 1, 2) y B(-2, 4, -1). Solución Ambos puntos deben verificar la ecuación; luego si lo expresamos en forma continua. (x -3)/(-2-3) = (y-1)/(4-1) = (z - 2)/(-1-2) Por lo tanto, tenemos...

 Más formas de representar la recta, continuación de los casos explicados en la entrada anterior. Ecuación homogénea Si empleamos las razones: x/t, y/t, z/t o bien expresadas como: x₁/x₄, x₂/x₄, x₃/x₄ Tendríamos el sistema lineal homogéneo: Ax₁ + Bx₂ + Cx₃ + Dx₄ = 0 A'x₁ + B'x₂ + C'x₃ + D'x₄ = 0 donde x₁, x₂, x₃, x₄ son las coordenadas homogéneas de un punto. Casos particulares Ecuaciones de los ejes coordenados: OX≡{y = 0, z = 0}, OY = {z = 0, x = 0}, OZ = {x=0, y = 0} Una recta paralela a un plano coordenado, por ejemplo, el xy, queda definida por: z = c, y = mx +n. Si es paralela al eje OX, tenemos y = b, z = c. Si la recta pasa por el origen, la recta quedará definida por sistemas homogéneos en x, y, z.

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de...

 La recta se representa en el espacio por un sistema lineal de dos ecuaciones.  Dados un punto fijo y una dirección Sea un punto fijo A(x₁, y₁, z₁) y una dirección 𝛿, se determinará una recta si trazados desde el origen la paralela a la recta que pasa por el origen pasa por dicho punto fijo A y sobre ella tomamos el punto D(p, q, r). Todo punto variable de la recta M(x, y, z) se determina por un parámetro: 𝜌 = AM / OD Si consideramos las proyecciones: proy(AM)/proy(OD) = AM / OD = 𝜌 y despejamos: proy(AM) = 𝜌·proy(OD) proy(OM) = proy(OA) + proy(AM) = proy(OA) + proy(OD)𝜌 Por lo que referimos a las proyecciones de los ejes coordenados: x = x₁ + p·𝜌 y = y₁ + q·𝜌 z = z₁ + r·𝜌 Siendo pqr los cosenos directores de la recta, parámetros de proyección sobre los ejes. En caso de ser los ejes coordenados rectangulares, estos parámetros son los cosenos directores de la recta, si la distancia OD = 1. Dados dos punto...