Formas de representar la recta (1)

 Tenemos varias formas de representar la recta:

Forma normal

Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior, eliminamos 𝜌:

(x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r

que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares:

p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾

y por tanto:

(x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾

siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta.

Forma ordinaria

Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema:

• x = az + h
• y = bz + k

que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que:

(x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z

Luego:

(x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1

que es la forma normal de la recta, luego ambas representan una recta.

Ecuación general

La recta quedaría definida por el sistema:

• Ax + By + Cz + D = 0
• A'x + B'y + C'z + D' = 0

Si resolvemos el sistema x e y, obtendremos la forma ordinaria:

• Ax + By = -Cz - D
• A'x + B'y = -C'z - D'

Se suele utilizar para resolver este sistema el método de Cramer.