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 Consideramos un punto P de una superficie cilíndrica x² + y² = P, siendo P' su proyección sobre el plano xy. P' pertenece a la esfera de centro O y radio 𝙥 y por lo tanto según las coordenadas polares del plano viene definido por (𝙥, 𝛉) de modo que el punto P se determina por (𝙥, 𝛉, z) que son sus coordenadas cilíndricas. La relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas es la siguiente: x = 𝙥·cos 𝛉 y = 𝙥·sen 𝛉 z = z entonces: x² =  𝙥²·cos² 𝛉 y² = 𝙥²·sen² 𝛉 Por lo que: x² + y² = 𝙥² Podemos establecer: 𝙥 = √( x² + y²) tg 𝛉 = y/x  0≤𝛉≤2𝜋 z = z  -∞≤ᴢ≤+∞

 Se define una superficie esférica como un conjunto de puntos que cumplen la propiedad de equidistar de uno fijo C que llamamos centro y la distancia de estos puntos y el centro se llama radio. Siendo P un punto, y P' su proyección en el plano xy. 𝙥 = distancia (O, P) 𝛉 = ángulo que forman la recta OP' y OX (eje positivo) φ = ángulo que forman OP y OZ (eje positivo) Estas tres coordenadas (𝙥, 𝛉, φ) definen el punto P: 𝙥 radio vector  0≤𝙥≤∞ → 𝙥 = √(x²+y²+z²) 𝛉 longitud   0≤𝛉≤2𝜋 → tg 𝛉 = y/x φ colatitud  0≤φ≤𝝅 → tg φ = √(x²+y²)/z La relación coordenadas cartesianas-esféricas es la siguiente: x = 𝙥·sen φ·cos 𝛉 y = 𝙥·sen φ·sen 𝛉 z = 𝙥·cos 𝛉

 Se usan muy poco. Un punto P viene definido por sus distancias m, n, p a tres rectas que forman un triángulo escribiéndose P(m, n, p). Es evidente que existe una relación entre las tres, la que resulta de expresar el área del triángulo: am + bn + cp = 2S (S es el área del triángulo ABC) NOTA: Una vez comprendido el problema, mediante el croquis previo, es conveniente pensar en cual de los dos sistemas más usuales, cartesiano o polar, se va a emprender la solución del mismo. Para ello, conviene tener en cuenta como se expresan cada una de las condiciones geométricas del enunciado en ellos y decidir en consecuencia. Se sabe que la distancia a un punto se expresa muy bien en polares, la distancia a una recta mejor en cartesianas, los ángulos constantes mejor en polares...

 Se ha visto que Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta cualquiera. Si esta recta no pasase por el origen, haciendo A/C = u, B/C = v, obtendremos ux + vy + 1 = 0 (1). Es decir, que el par (u, v) o la terna (A, B, C) en homogéneas, definiría a la recta. Por esto se dice que la recta tiene por coordenadas (u, v). Correlativamente, el punto tendrá ecuación y será mu + nv + p = 0 (2) que no es más que la relación entre las coordenadas de rectas que pasan por él. En particular pasan las u₂ = 0, v₂ = u₁ = -p/m, v₁ = 0, cuyas ecuaciones serían: (-p/m)·x + 1 = 0 (-p/n)·y + 1 = 0 que se cortan en el punto (m, n, p) (3), que se asocia a la ecuación (2) y resulta fácil el paso de cartesianas a pluckerianas (y viceversa). El plano, en estas coordenadas, viene como un conjunto de rectas y las líneas como conjuntos de sus tangentes, en contraposición al plano como conjunto de puntos y línea como conjunto de puntos que verifica su ecuación cartesi...

  Paso a cartesianos: 𝛉 = arctg(±y/x) r = a·[(sen 𝛉')/sen(𝛉 + 𝛉')] 𝛉' = arctg(±y/(a-x)) r' = a·[sen 𝛉/sen(𝛉 + 𝛉')] Paso a polares: 𝛉 = ⍵ 𝙥 = a·[sen 𝛉/sen(𝛉 + 𝛉')] Ejemplo ¿Qué representa en coordenadas angulares (𝛉 - 𝛉') = 7? tg 𝛉 = y/x, tg 𝛉' = y/(a - x) Por lo tanto: tg (𝛉 -𝛉') = (tg 𝛉 - tg 𝛉')/(1 + tg 𝛉·tg 𝛉') Desarrollando: tg(𝛉 - 𝛉') = (y/x + y/(a - x))/(1 + y²/x(a-x)) = y[(a - 2x)/x(a-x)]/[(x(a-x) + y²)/(x(a-x))] = y(a-2x)/(x(a-x)+y²) = K Tenemos entonces ya - 2yx = Kax - Kx² + Ky², por lo que: -Kx²+Ky²-2yx+Kax-ay = 0 Se trata de una hipérbola equilátera. Puedes intentar hacer lo mismo con (𝛉 + 𝛉') = 7

  Para pasar a cartesianos: r = √(x² + y²) r' = √[(a - x)² + y²] Para pasar a polares: r = 𝙥 r'² = 𝙥² + a² - 2𝙥a·cos ⍵

 Sea un sistema de referencia ortonormal  en el plano y consideremos un punto P(x, y) distinto del origen (0, 0). Este punto puede representarse por la distancia del punto al origen de coordenadas (0, 0) llamando a dicha distancia 𝙥 y por el ángulo que forma el vector OP con el eje de abscisas. al punto O se le llama polo y al eje OX eje polar. Por otro lado, dado el par (𝙥, φ) queda determinado P y por lo tanto, hay que restringir el intervalo de variación de φ para [0, 2𝜋]. El cambio de eje polar viene dado por la ecuación: ⍵ = 𝛼 + ⍵₁ La traslación del eje polar: 𝙥² = h ² + d² - 2 𝙥₁·d cos(𝜋 - 𝛼 + ⍵₁) 𝙥² = h ² + d² - 2 𝙥₁·d cos( ⍵₁ -   𝛼 ) Podemos deducir a través de la trigonometría: h/d = sen(𝛼-⍵)/sen(⍵-⍵₁) Aplicando las correspondientes propiedades trigonométricas : h/d = (sen  𝛼 · cos  ⍵ - cos  𝛼 ·sen  ⍵)/(sen  ⍵ cos  ⍵₁ - cos  ⍵ ...

 Ahora, el cambio en el origen: x = a + x', y = b + y', z = c + z' Cambios de la dirección de los ejes b = (cos 𝝰', cos 𝝱', cos 𝜸') a = (cos 𝝰, cos 𝝱, cos 𝜸) a·b = cos 𝛉 = cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' 𝛉 = 90º; cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' = 0 𝛉 = 0; cos² 𝝰 + cos² 𝝱 + cos² 𝜸 Si no son rectangulares ninguna Tras realizar las proyecciones sobre el eje x, tenemos: x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵 x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃ al igual proyectado sobre eje y, sobre el z: x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵 =  x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃ x·cos 𝝀 + y + z·cos 𝘷 = x'·cos 𝝱₁ + y'·cos 𝝱₂ + z'·cos 𝝱₃ x·cos 𝛍 + y·cos 𝘷 + z = x'·cos 𝜸₁ + y'·cos 𝜸₂ + z'·cos 𝜸₃ Los nombres pueden decidirlos tú. Si tenéis alguna duda sobre como realizar proyecciones, podéis consultar este enlace de otro de mis blogs. Si son primitivos los ejes rectangulares x = x...

  En el plano Cambio de origen: x = a + x' y = b + y' Teniendo esto en cuenta, ya podemos calcular las coordenadas según los casos. Ejes cualquiera Tras realizar las proyecciones y trigonometría correspondientes: x·sen 𝛉 = x'·sen(𝛉 - 𝝰) + y'·sen(𝛉 - 𝝱) x = x'(sen(𝛉−𝛂))/sen 𝛉 + y'(sen(𝛉−𝝱))/sen 𝛉 cos(90 + 𝛉) = x'cos(90 + 𝝰) + y'·cos(90 + 𝝱) y = x'·(sen 𝝰/sen 𝛉) + y'·(sen 𝝱/sen 𝛉) x = x'(sen(𝛉 - 𝝰)/sen 𝛉) + y'(sen(𝛉 - 𝝱)/sen 𝛉) Si el primer sistema es rectangular y el segundo no lo es 𝛉 = 𝝿/2 x = x'·cos 𝝰 + y'·cos 𝝱 y = x'·sen 𝝰  + y´·sen 𝝱 Si los dos rectangulares 𝛉 = 𝛑/2, 𝝱 - 𝝰 = 𝝿/2 x = x'·cos 𝝰 - y'·sen 𝝰 y = x'·sen 𝝰  + y´·cos 𝝰 Cambio general con ejes rectangulares x = x'·cos 𝝰 - y'·sen 𝝰 + a y = x'·sen 𝝰 + y'·cos 𝝰 + b

 En coordenadas cartesianas, todos los puntos del plano, excepto los del infinito tienen el mismo tratamiento. Para incorporar estos últimos al tratamiento común se utilizan las coordenadas homogéneas . Sean (x, y) las coordenadas absolutas de un punto P. Si escribimos x = X/T, y = Y/T, la terna (X, Y, T) se llama coordenadas homogéneas de P. Ahora, a cada terna corresponde un punto y a este le corresponden infinitas ternas, pues si (X₁, Y₁, T₁) verifica, también verifica (KX₁, KY₁, KT₁) ∀ K ≠ 0. De esta forma, cualquier terna con T = 0 representa un punto impropio (del infinito) y T = 0 es precisamente la ecuación de la recta impropia. En definitiva, tratamos el infinito con el cero. Ejemplos (1, 0, 0) punto impropio de 0X. (0, 1, 0) punto impropio de 0Y. (1, m, 0) punto impropio de y = mx. En las curvas algebraicas, cortando por T = 0 se obtienen los puntos del infinito x²y³(2x - y)(x²-y²) + x³ + y² + 1 = 0 en homogéneas ser...

 En ocasiones, las coordenadas de un punto vienen dadas en función de una tercera variable (parámetro). x = f(t) y = g(t) pudiéndose pasar a la forma implícita sin más que eliminar el parámetro, si esto es posible. Se dice que se tienen las ecuaciones de la línea en paramétricas. Aunque se puede eliminar el parámetro, puede convenir realizar un estudio y representación partiendo precisamente de las ecuaciones paramétricas. Por otra parte, hay que tener en cuenta que al eliminar el parámetro puede haberse introducido un nuevo arco de curva, por ejemplo, si: x = t² y = t⁴ Esta curva, para todo número t real, se ve que se encuentra en el primer cuadrante, mientras que si se elimina el parámetro, se obtiene una parábola situada en el primer y cuarto cuadrante y = x². Este problema se da con cierta frecuencia en las curvas dadas en paramétricas da lugar a lo que se conoce como representación impropia. El problema inverso, consistente en pasar...

 Para el estudio de curvas y superficies ya sea en el plano o en el espacio, necesitamos unos sistemas de referencia en base a los cuales podremos expresar dichas curvas y superficies. En cualquier sistema considerado, cuando puede expresarse una de las variables como función de la otra se dice que está en forma explícita y = f(x). Por ejemplo: x = a + cos y. Cualquiera de las ecuaciones anteriores puede escribirse en un solo miembro: a + cos y - x = 0 diciéndose que están en forma implícita. Pero esto último es más general, pudiendo tener una ecuación f(x, y) = 0 de forma que no se pueda despejar una variable en función de otra. Tales ecuaciones, en determinadas condiciones, definen una función, por ejemplo: y = 𝜎 (x) tal que f(x, 𝜎 (x)) ∀ x ∈ E(x₀, y₀) tal que (x₀, y₀) = 0. Se dice que se tiene la función en forma implícita. No siempre es posible lo anterior, e incluso hay expresiones f(x, y) = 0 que no se cumplen para ningún número r...