Coordenadas homogéneas

 En coordenadas cartesianas, todos los puntos del plano, excepto los del infinito tienen el mismo tratamiento. Para incorporar estos últimos al tratamiento común se utilizan las coordenadas homogéneas.

Sean (x, y) las coordenadas absolutas de un punto P.

Si escribimos x = X/T, y = Y/T, la terna (X, Y, T) se llama coordenadas homogéneas de P. Ahora, a cada terna corresponde un punto y a este le corresponden infinitas ternas, pues si (X₁, Y₁, T₁) verifica, también verifica (KX₁, KY₁, KT₁) ∀ K ≠ 0.

De esta forma, cualquier terna con T = 0 representa un punto impropio (del infinito) y T = 0 es precisamente la ecuación de la recta impropia. En definitiva, tratamos el infinito con el cero.

Ejemplos

  • (1, 0, 0) punto impropio de 0X.
  • (0, 1, 0) punto impropio de 0Y.
  • (1, m, 0) punto impropio de y = mx.
En las curvas algebraicas, cortando por T = 0 se obtienen los puntos del infinito

x²y³(2x - y)(x²-y²) + x³ + y² + 1 = 0

en homogéneas sería:

𝑋²𝘠³(2X - Y)(X²-Y²)+X³T⁵ + Y²T⁶ + T⁸ = 0

y cortando por T = 0, da 𝑋²𝘠³(2X - Y)(X²-Y²) = 0, cuyas soluciones son:
  • X=0 (doble)
  • Y = 0 (triple)
  • Y = 𝑋 (sencilla)
  • Y = - 𝑋 (sencilla)
  • Y = 2X
que se corresponden con los puntos impropios (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, -1, 0), (1, 2, 0) respectivamente.

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