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 Sabemos que la serie armónica es divergente. Vamos a calcular la suma de sus n primeros términos y conocer el índice de infinitud. La sucesión (1+1/n)ⁿ es estrictamente creciente y sabemos que su límite, cuando n tiende a infinito, es el número e, luego e > (1 + 1/n)ⁿ y tomando logaritmos neperianos: 1 > n·Ln(1 + 1/n) Por lo tanto: 1/n > [Ln(n+1)/n] Por otra parte, sabemos que el límite de (1 - 1/n)ⁿ cuando n tiende a infinito es 1/e, por lo que 1/e >(1 - 1/n)ⁿ. Tomando logaritmos tenemos: Ln(1/e)>n·Ln[(n-1)/n] Operando con logaritmos: -1/n >Ln[(n-1)/n] Luego: 1/n>(Ln(n+1)-Ln(n)) Por otra parte: 1/n <Ln(n/(n-1) y 1/(n+1)<Ln[(n+1)/n] = Ln(n+1) - Ln(n) Luego: 1/(n+1)<Ln(n+1) - Ln(n)<1/n 1/n<Ln(n) - Ln(n-1)<1/(n-1) 1/(n-1)<Ln(n-1) - Ln(n-2)<1/(n-2) 1/2<Ln2 - Ln1<1 Sumando tendremos: 1/(n+1) + 1/n + 1/(n-1) + ... + 1/2<Ln(n+1)<1/n + 1/(n-1) + ... + 1 H n+1 - 1<Ln(n+1)<Hₙ Hₙ<...

 Serie geométrica Es el ejemplo más sencillo: 1 + a +a² + a³ + a⁴ + .... su término enésimo: Sₙ = 1 + a + a² + a³ + ... + a n-1 = (a n -1)/(a-1) Calcularemos su límite para calcular su convergencia, cuando n tiende a infinito: |a| < 1; lim aⁿ = 0 lim Sₙ = 1/(1 - a) ==> es una serie convergente y la suma es 1/(1 - a) Para |a|>1, aⁿ crece indefinidamente y Sₙ crece indefinidamente, la serie es divergente. Para |a| = 1, la serie es oscilante: 1, -1, 1, -1,... Serie armónica Otro ejemplo muy importante es la llamada serie armónica Hₙ donde cada término es medio armónico entre los dos contiguos: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n + ... Si consideramos la siguiente comparación: 1≥1 1/2 ≥1/2 1/3≥1/4 1/4≥1/4 2·1/4 = 1/2 1/5≥1/8 1/6≥1/8 1/7≥1/8 1...

 Sea {aₙ} una sucesión de números reales o complejos, podemos constituir otra sucesión de la manera siguiente: {Sₙ}: S₁ = a₁ S₂ = a₁ + a₂ S₃ = a₁ + a₂ + a₃ .... Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ Al par ({aₙ}, {Sₙ}) le llamaremos serie, a los elementos de la sucesión {aₙ} les llamaremos términos y a los elementos de {Sₙ} les llamaremos sumas parciales, siendo Sₙ la suma parcial enésima. Queda entonces establecido el algoritmo indefinido como toda operación de las operaciones elementales con la operación de pasar al límite. La ley para formar cada término de la serie viene dada por una función arbitraria definida de modo que cada término se deduzca de los anteriores o bien en función de su índice. Las series, como sucesiones que son, puede ser convergentes, divergentes u oscilantes, siendo la suma de la serie: Si el límite de Sₙ cuando n tiende a infinito pertenece a R: CONVERGENTE Si el límite de Sₙ, cuando n tiende a infinito es ±∞: ...