Introducción a las series numéricas

 Sea {aₙ} una sucesión de números reales o complejos, podemos constituir otra sucesión de la manera siguiente:

{Sₙ}:

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = a₁ + a₂ + a₃

....

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ

Al par ({aₙ}, {Sₙ}) le llamaremos serie, a los elementos de la sucesión {aₙ} les llamaremos términos y a los elementos de {Sₙ} les llamaremos sumas parciales, siendo Sₙ la suma parcial enésima.

Queda entonces establecido el algoritmo indefinido como toda operación de las operaciones elementales con la operación de pasar al límite.

La ley para formar cada término de la serie viene dada por una función arbitraria definida de modo que cada término se deduzca de los anteriores o bien en función de su índice.

Las series, como sucesiones que son, puede ser convergentes, divergentes u oscilantes, siendo la suma de la serie:

  • Si el límite de Sₙ cuando n tiende a infinito pertenece a R: CONVERGENTE
  • Si el límite de Sₙ, cuando n tiende a infinito es ±∞: DIVERGENTE
  • Si el límite de Sₙ cuando n tiende a infinito no existe: OSCILANTE
Se dice que una serie es sumable cuando su convergencia puede determinarse por criterios sencillos y su suma podemos obtenerla exactamente o con tanta precisión como se desee.

La clasificación de las series tiene difícil solución, por lo que se recurre a la comparación de las series con otras más conocidas.

Los términos de una serie puede ser positivos formando series de términos positivos o bien de términos positivos y negativos; o series alternadas con términos positivos y negativos alternativamente; o series de números complejos.

La condición necesaria para que una serie sea convergente viene dada por:

lim Sₙ = S, S ∈ R
n→∞

entonces también, cuando n tiende a infinito:

lim Sn-1 = S

Por lo tanto, cuando n tiende a infinito, podemos afirmar:

lim (Sₙ - Sn-1) = lim aₙ = 0

Por lo que podemos decir que en toda serie convergente, el término general tiene por límite 0, que es pues una condición necesaria aunque no suficiente.


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