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 Sean los planos: 𝜋 = Ax + By + Cz + D = 0 𝜋' = A'x + B'y + C'z + D' = 0 la distancia entre ambos será la distancia de un punto cualquiera P₁(x₁, y₁, z₁) del segundo plano al primero. la distancia del punto P₁ al plano es: d = ±(Ax₁ + By₁ + Cz₁+D)/√(A²+B²+C²) y como P₁(x₁, y₁, z₁) pertenece al plano 𝜋' se verifica: A'x₁ + B'y₁ + C'z₁ + D' = 0 y al ser paralelas: A/A' = B/B' = C/C' Con lo que queda que: A'x₁ + B'y₁ + C'z₁ = - D' y por tanto: d =± (D - D')/√(A²+B²+C²) En las próximas entradas, veremos algunos ejercicios y ejemplos sobre todo lo explicado en el tema. Gracias por leer el blog.

 Para medir esta distancia, buscamos la perpendicular común obtenida trazando por una de ellas r₂ un plano que sea paralelo a r₁. Desde el punto P de r₁ trazamos la perpendicular al plano y por el punto de corte Q de esta perpendicular con el plano trazamos una recta paralela. Esta recta s cortará a la recta r₂ en un punto R y la normal trazada por este punto R es la perpendicular común. Como PQ = RS = d, tenemos que r₁: x = az + h y = bz + k y r₂: x = a'z + h' y = b'z + k' El plano que contiene a r₂ tiene por ecuación: x - a'z - h' + 𝜆·(y - b'z -k') = 0 x + 𝜆y - (a'+b'𝜆)z - (h'+ 𝜆k') = 0 y la condición de paralelismo: a + 𝜆b - (a' + b'𝜆) = 0 por lo que: 𝜆 = -(a - a')/(b - b') y el plano paralelo: (b - b')x - (a-a')y + (ab' - ba')z + (a - a')k' - (b-b')h' = 0 Si por el punto P tomamos la traza de r₁ sobre el plano xy la d...

 Si el punto es el origen (0, 0, 0), entonces: Si la recta viene dada en forma ordinaria : d = √{[h²+k²+(ak -bh)²]/(a²+b²+1)} Si la recta viene dada en formal normal , la distancia es la raíz cuadrada de la siguiente expresión:

 Dada la recta en forma normal : (x-x₀)/cos 𝛼 = (y - y₀)/cos 𝛽 = (z - z₀)/cos 𝛾 y el punto P(x₁, y₁, z₁). Si unimos la recta y el punto mediante una perpendicular PQ y además trazamos una recta desde P hasta R(x₀, y₀, z₀) que es un punto fijo de la recta y tenemos: d² = PR ² - RQ ² siendo PR ² = (x₀-x₁)²+(y₀-y₁)²+(z₀-z₁)² Si trazamos por P y R planos paralelos a xz, xy, zy, obtenemos un paralelepípedo cuya diagonal es precisamente RP y a su vez la proyección de esta sobre RQ es: RQ = (x₁-x₀)·cos 𝛼 + (y₁-y₀)·cos 𝛽 + (z₁-z₀)·cos 𝛾 de donde: d² = (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)² + (z₁-z₀)² - [ >(x₁-x₀)·cos 𝛼 + (y₁-y₀)·cos 𝛽 + (z₁-z₀)·cos 𝛾] Si la recta viene dada en forma ordinaria : (x-h)/a =(y-k)/b = z/1 x₀ = h y₀ = k z₀ = 0 la distancia viene dada por: d = √{[(y₁-k)·cos 𝛾 - z₁·cos 𝛽]² + [z₁·cos 𝛼 - (x₁-h)·cos 𝛾]² + [(x₁-h)·cos 𝛽 + (y₁-k)·cos 𝛼]²}

 Dado un plano Ax + By + Cz + D = 0, referido a ejes rectangulares, sea el punto P₁(x₁, y₁, z₁), queremos obtener la distancia entre el punto P y el plano. Consideramos el punto P₁(x₁, y₁, z₁) como nuevo origen de coordenadas, la ecuación del plano para los nuevos ejes será aplicando la traslación: x = X + x₁ y = Y + y₁ z = Z + z₁ AX + BY + CZ +Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 la distancia del punto P₁(x₁, y₁, z₁) al plano será la longitud de la normal al nuevo plano desde el origen de coordenadas y viene dada por: d = (Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D)/±√(A²+B²+C²) Como podemos observar, el numerador es la ecuación del plano sustituyendo los valores x, y, z por las coordenadas del punto dado y el denominador es la raíz de la suma de los cuadrados de los coeficientes del plano. Si el plano viene dado en la forma hessiana: xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾 - p = 0 la distancia de un punto P₁(x₁, y₁, z₁) al plano viene dada por: d = x₁cos 𝛼 + y₁cos 𝛽 + z₁c...

 Dados dos puntos P(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂) pertenecientes a la recta r. Si dichos por dichos puntos trazamos 6 planos paralelos a los coordenados (que pueden ser rectangulares o no) obtendremos un paralelepípedo que tendrá por diagonal la recta que une ambos puntos: P₁ y P₂. Ejes no rectangulares En ejes no rectangulares, las aristas quedan definidas: BC = x₂ - x₁ CP₁ = y₂ - y₁ BP₂ = z₂ - z₁ Si proyectamos la línea P₁CBP₂ ortogonalmente obtendremos P₁P₂ sobre la recta r y los ejes. d = (x₂ - x₁)cos xr + (y₂ - y₁)cos yr + (z₂ - z₁) cos zr dcos xr = (x₂ - x₁) + (y₂ - y₁)cos xy + (z₂ - z₁) cos xz dcos yr = (x₂ - x₁)cos yx + (y₂ - y₁)+ (z₂ - z₁) cos yz dcos zr = (x₂ - x₁)cos xz + (y₂ - y₁)cos zy + (z₂ - z₁)  Si multiplicamos la primera ecuación por d: d² = (x₂ - x₁)d cos xr + (y₂ - y₁)d cos yr + (z₂ - z₁)d cos zr y sustituimos los valores de d cos xr, d cos yr, d cos zr: d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² + 2(y₂ - y₁)((z₂ - z₁)cos yz + 2(z₂ - z₁)(x₂ - x₁)cos zx + 2(x...