Distancia de un punto a un plano

 Dado un plano Ax + By + Cz + D = 0, referido a ejes rectangulares, sea el punto P₁(x₁, y₁, z₁), queremos obtener la distancia entre el punto P y el plano.

Consideramos el punto P₁(x₁, y₁, z₁) como nuevo origen de coordenadas, la ecuación del plano para los nuevos ejes será aplicando la traslación:

  • x = X + x₁
  • y = Y + y₁
  • z = Z + z₁
  • AX + BY + CZ +Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0

la distancia del punto P₁(x₁, y₁, z₁) al plano será la longitud de la normal al nuevo plano desde el origen de coordenadas y viene dada por:

d = (Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D)/±√(A²+B²+C²)

Como podemos observar, el numerador es la ecuación del plano sustituyendo los valores x, y, z por las coordenadas del punto dado y el denominador es la raíz de la suma de los cuadrados de los coeficientes del plano.

Si el plano viene dado en la forma hessiana:

xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾 - p = 0

la distancia de un punto P₁(x₁, y₁, z₁) al plano viene dada por:

d = x₁cos 𝛼 + y₁cos 𝛽 + z₁cos 𝛾 - p = 0

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