Supermatemáticas a tu alcance

 Algunos ejercicios para poner en práctica lo aprendido en este tema de espacios vectoriales. Ejercicio 1 Dado el conjunto V formado por ternas (x, y, z) tal que x, y, z ∈ Q³ y además 2x + y - z = 0, tenemos que demostrar que V es espacio vectorial sobre Q. Solución Para comprobar que V es un espacio vectorial sobre Q, podemos aplicar la condición necesaria y suficiente el teorema que reduce a una condición la caracterización de espacios vectoriales. Por lo tanto, debe verificarse que: 𝛼(x, y, z) + 𝛽(x', y', z') ∈ V siendo 𝛼, ꞵ ∈ R Tenemos: 𝛼(x, y, z) + 𝛽(x', y', z') = (𝛼x, 𝛼y, 𝛼z) + (𝛽x', 𝛽y', 𝛽z') = (𝛼x + 𝛽x', 𝛼y + 𝛽y', 𝛼z + 𝛽z') Hemos obtenido un nuevo elemento de tres términos que hemos de demostrar que pertenece a V, para lo cual se debe de verificar: 2x + y -z = 0; 2(𝛼x + 𝛽x') + (𝛼y + 𝛽y') - (𝛼z + 𝛽z') = 0 Quitamos paréntesis: 2𝛼x + 2𝛽x' + 𝛼y + 𝛽y...

 Un ejercicio para poner en práctica lo explicado en la entrada anterior . Ejercicio Sean las bases : A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B = {(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 5)} y el vector V = (7, 9, -6) respecto a la base A (que es la base canónica del espacio vectorial tridimensional). Tenemos que calcular las coordenadas de V respecto a la base B. Solución Ahora trabajamos en un espacio vectorial con bases de dimensión 3, con lo cual las ecuaciones del cambio de base aparecerán muy simplificadas. El vector V respecto a la base A vendrá expresado como: V = 7(1, 0, 0) + 9(0, 1, 0) + (-6)(0, 0, 1) y por otra parte, respecto a B: V = x(2, 0, 0) + y(0, 3, 0) + z(0, 0, 5) Si igualamos ambas expresiones: 7(1, 0, 0) + 9(0, 1, 0) + (-6)(0, 0, 1) = x(2, 0, 0) + y(0, 3, 0) + z(0, 0, 5) Comparando términos: 7·1 + 9·0 + (-6)·0 = 2x + 0·y + 0·z => 7 = 2x => x = 7/2 7·0 + 9·1 + (-6)·0 = x·0 + 3y + 0·z => 9 = 3y => y = 3 7·0 + 9·0 + (-6)·1 = x·0 + y·0 + 5z => -6 = 5z =>...

 Sea A = { a₁, a₂, ..., aₙ } y B = { b₁, b₂, ..., bₙ } dos bases del espacio vectorial (Vₙ, +, ·, R) sobre R, considerando un  vector V del espacio vectorial debemos encontrar una relación de las coordenadas de V respecto a las bases A y B. Necesitamos conocer las coordenadas de los vectores de una base respecto de la otra, supongamos, por ejemplo, conocidas las coordenadas de los vectores de A respecto de B: a₁ = a₁₁ b₁ + a₁₂ b₂ + ... + a₁ₙ bₙ ............................................... aₙ = aₙ₁ b₁ + aₙ₂ b₂ + ... + aₙₙ bₙ y el vector V quedaría expresado respecto a la base B como: V = x₁' b ₁ + x'₂ b₂ ﱣٰ' + ... + x'ₙ bₙ y respecto a la base A: V = x₁ a₁ + x₂ a₂ + ... + xₙ aₙ Por lo tanto, el vector V podría ser expresado como: V = x₁(a₁₁ b₁ + a₁₂ b₂ + ... + a₁ₙ bₙ ) + ... + xₙ(aₙ₁ b₁ + aₙ₂ b₂ + ... + aₙₙ bₙ ) (1) donde hemos sustituido a₁, a₂, ..., aₙ , por las expresiones que les corresponden en función de sus coordenadas respecto a la base B: V = x...

 En este teorema se relacionan dos conjuntos de vectores, siendo uno de ellos un sistema generador y otro un sistema libre de vectores, y teniendo ambas dimensiones diferentes, se enuncia como sigue: Sea (V, +, ·, R) un espacio vectorial A = a₁, ..., aₘ un sistema generador de V y B = { b₁, ..., bₚ } un sistema de vectores libre, entonces p ≤ m y pueden sustituirse los vectores de A por vectores de B resultando un sistema generador. Demostración Como A es un sistema generador de V, los vectores de B serán combinación lineal de los de A y podremos escribir un nuevo sistema generador: C = { b₁, a₂, ..., aₘ } de cuya combinación lineal de vectores podemos obtener b₂ , teniendo en cuenta que b₁ y b₂ son linealmente independientes (tal y como se ha enunciado) y que por tanto: b₂ = λ₁ b₁ + λ₂ a₂ + ...  + λₘ aₘ donde algún λ sea distinto de cero. Podríamos continuar el proceso de obtención de conjuntos de vectores como el C hasta que nos planteáramos dos casos: p>m supondría...

 Un ejercicio sobre lo explicado sobre bases en entradas anteriores . Ejercicio Demuestra que los vectores de V 0,5 del conjunto: A = {(0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)} forman una base en V 0,5 e indica las dimensiones de esta base. Solución Sabemos que las condiciones para que un conjunto de vectores sea una base son: Que el conjunto de vectores dado sea un sistema de generadores de V 0,5 . Si tenemos un vector (x₁, x₂ , x₃, x₄, x₅) del espacio V 0,5 y puede expresarse como combinación lineal de los vectores de A, entonces A será un sistema generador. En este ejemplo tenemos: (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x₅(0, 0, 0, 0, 1) + x₄(0, 0, 0, 1, 0) + x₃(0, 0, 1, 0, 0) + x₂(0, 1, 0, 0, 0) + x₁(1, 0, 0, 0, 0) Además, estos vectores deben ser linealmente independientes, es decir: 𝛼₁(0, 0, 0, 0, 1) + 𝛼₂(0, 0, 0, 1, 0) + 𝛼₃(0, 0, 1, 0, 0) + 𝛼₄(0, 1, 0, 0, 0) + 𝛼...

 Se define como base de un espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R a un subconjunto de vectores A, tal que: A es un sistema de generadores de V El sistema de vectores de A son linealmente independientes. Se llama dimensión de un espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R al número de vectores que forman una cualquiera de sus bases. Cuando existe un sistema finito de generadores para V se dice que el espacio vectorial (V, +, ·, R) es de dimensión finita. Teoremas sobre bases Cualquier espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R, de dimensión finita y que se reduce a 0 , tiene al menos, una base. Demostración Tenemos un sistema A = { a₁, a₂, ... , aₙ } que es sistema generador de V, si tomamos un conjunto de estos valores a modo que: Ninguno sea 0. Ninguno sea combinación lineal de los demás. Tendremos un A' que será un sistema libre de generadores, pues cualquier vector de V depende de A, y cualquier vector de A ...

 Se llama subespacio vectorial de V sobre R a todo subconjunto W ⊂ V respecto de la suma y producto definidos en V sea (W, +, ·, R) un espacio vectorial. Cualquier espacio vectorial (V, +, ·, R) posee, al menos, dos subespacios vectoriales llamados triviales o impropios, y que son el propio espacio vectorial y el formado por el elemento neutro de la ley de composición interna (0, +, ·, R). Cualquier otro subespacio vectorial de V distintos de los anteriores recibe el nombre de subespacio propio. Para caracterizar a un subconjunto W (no vacío) del espacio vectorial como un subespacio V debe verificar las propiedades del espacio vectorial. Teoremas sobre subespacios vectoriales La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto W del espacio V sobre R sea un subespacio vectorial es que para cualquier 0X, 0Y ∈ W y 𝛼 ∈ R debe verificarse que: 0X + 0Y ∈W 𝛼· 0X ∈ W Demostración Es condición necesaria, evidentemente, ya qu...

 Se dice que los vectores del subconjunto A = { a₁, a₂, ..., aₙ } de un espacio vectorial V sobre R forman un sistema libre o son linealmente independientes si de la relación 𝛼₁ a₁ + 𝛼₂ a₂ + ... + 𝛼ₙ aₙ = 0 se deduce que todos los 𝛼 son nulos 𝛼₁＝𝛼₂＝...=𝛼ₙ = 0, el vector nulo 0 se expresa de forma única en función en función de los vectores que componen el sistema A. Cuando esta relación también sea cierta para valores no todos nulos de los escalares 𝛼, se dice que el sistema A es ligado o que los vectores que lo forman son linealmente dependientes. En este caso, lo que significa es que el vector no nulo 0 se expresa de forma única, como combinación lineal de los vectores del sistema. Ejemplo Sean los vectores a₁=(3, -5, 0) y a₂ = (1, -1, 2). Tenemos que comprobar si son linealmente independientes o dependientes. Solución Sabemos que la condición requerida para la dependencia o independencia lineal de un sistema de vectores es: 𝛼₁ a₁ + 𝛼₂ a₂ = 0 sustituyendo a₁, a₂ ...

 Si V es un espacio vectorial real se verifican las siguientes propiedades: El elemento 0 es el neutro para la suma de vectores Tenemos que 𝛼· 0 = 0 Los elementos (-𝛼)· 0X y (𝛼)· 0X son opuestos (su suma es el vector 0) (-1)· 0X = - 0X La ley externa no posee divisores de cero. Todo elemento distinto de los neutros de R y V para la ley de composición interna son regulares para la ley externa, verificando que 𝛼· 0X = 𝛼· 0Y => 0X = 0Y , ∀𝛼≠0, y también verificando que 𝛼· 0X = 𝛽· 0X => 𝛼 = β. Combinación lineal de vectores Sea A { a₁, a₂, a₃,...,aₙ } un subconjunto finito de elementos de (V, +, R) al que llamamos sistema de vectores. Se dice entonces que un vector V ∈V es una combinación lineal del sistema formado por los n vectores del subconjunto A si existen n escalares 𝛼₁, 𝛼₂,..., 𝛼ₙ de R tales que 𝛼₁ a₁ + 𝛼₂ a₂ + ... + 𝛼ₙ aₙ = V donde 𝛼₁, 𝛼₂, ..., 𝛼ₙ s...

 Sea (R, +, ·) un cuerpo conmutativo cuyos elementos se llaman operadores o escalares y se representan por 𝛼, 𝛽, 𝛾... Sea V un conjunto cualquiera del espacio. En V definimos una ley de composición interna + y una ley de composición externa respecto al cuerpo R. Operación suma Siendo V el conjunto de vectores fijos de origen 0 y extremo cualquier punto del espacio y que representamos como 0X, 0Y , definimos como ley de composición interna la operación suma de vectores aplicada a dos elementos de V, obtenemos un vector que también es un elemento de V. Definida la ley de composición interna, se verifican también las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa ∀ 0X, 0Y ∈ V se cumple que 0X + 0Y = 0Y + 0X Propiedad asociativa ∀ 0X, 0Y, 0Z ∈ V se cumple que 0X + (0Y + 0Z) = (0X + 0Y) + 0Z Existencia del elemento neutro ∃ 00 tal que 0X + 00 = 0X Existencia del elemento simétrico ∀ 0X , ∃ 0X' siendo 0X, 0X' ∈ V tal que 0X +...