Ejercicio sobre bases

 Un ejercicio para poner en práctica lo explicado en la entrada anterior.

Ejercicio

Sean las bases :

A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B = {(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 5)}

y el vector V = (7, 9, -6) respecto a la base A (que es la base canónica del espacio vectorial tridimensional). Tenemos que calcular las coordenadas de V respecto a la base B.

Solución

Ahora trabajamos en un espacio vectorial con bases de dimensión 3, con lo cual las ecuaciones del cambio de base aparecerán muy simplificadas.

El vector V respecto a la base A vendrá expresado como:

V = 7(1, 0, 0) + 9(0, 1, 0) + (-6)(0, 0, 1)

y por otra parte, respecto a B:

V = x(2, 0, 0) + y(0, 3, 0) + z(0, 0, 5)

Si igualamos ambas expresiones:

7(1, 0, 0) + 9(0, 1, 0) + (-6)(0, 0, 1) = x(2, 0, 0) + y(0, 3, 0) + z(0, 0, 5)

Comparando términos:

  1. 7·1 + 9·0 + (-6)·0 = 2x + 0·y + 0·z => 7 = 2x => x = 7/2
  2. 7·0 + 9·1 + (-6)·0 = x·0 + 3y + 0·z => 9 = 3y => y = 3
  3. 7·0 + 9·0 + (-6)·1 = x·0 + y·0 + 5z => -6 = 5z => z = -6/5
Así pues, las coordenadas de V en base B serán;

V = (7/2, 3, -6/5)

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