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 Dadas las traslaciones 𝜏ₐ y 𝜏ᵦ, el producto de ambas se define: 𝜏ₐ𝜏ᵦ(P) = 𝜏ᵦ[𝜏ₐ(P)] Si: P₂ = 𝜏ₐ(P₁) P₃ = 𝜏ᵦ(P₂) siendo P₁P₂ = a y P₂P₃ = b , tendremos: P₁P₃ = a + b es decir, 𝜏ₐ𝜏ᵦ = 𝜏 a+𝛽 y es una nueva traslación. Dadas las traslaciones: 𝜏ₐ→ a = AA₁ , que transforma P en P₁ tₐ -1 → a = A₁A , que transforma P₁ en P tₐ -1 es la traslación inversa de 𝜏ₐ Si dada la traslación 𝜏ₐ el punto transformado P' coincide con el dado, los puntos de la figura dada coincidirán con los de su transformada. Esa traslación se llama nula o identidad (elemento neutro). El conjunto de las traslaciones del plano forman un grupo abeliano, pues tiene la propiedad asociativa y conmutativa (el producto de las traslaciones es permutable). Como todas las transformaciones de este grupo pertenecen a las del grupo total de movimientos, se dice que constituyen un subgrupo de éste.

 Las características más importantes del producto de correspondencias son: Dadas dos correspondencias f y g tales que el campo de variabilidad de la variable coincide con el de la función, llamaremos producto de f por g ⇔ g·f: g·f = g[f(x)]. El producto de dos correspondencias biunívoca es otra correspondencia biunívoca. Sea f una correspondencia biunívoca y sea i la correspondencia identidad, se verifica: fi = if = f Sean f, g, h tres correspondencias biunívocas, se verifica entonces: h(gf) = (hg)f Podemos afirmar entonces: Se llama grupo de correspondencias o de traslaciones al conjunto de correspondencias biunívocas tales que el producto de dos de ellas y la inversa de cualquiera de ellas pertenecen al conjunto .

 Dado un vector v , se llama traslación en el espacio a la correspondencia por la que a cada punto P(x, y, z) del espacio se le asocia un punto P'(x', y', z') de modo que el vector PP' es equivalente al v . Mediante la traslación de vector, v se transforma en la semirrecta de origen P en la de origen P', y de sentido el mismo que P. Por otra parte, el semiplano 𝛼 queda transformado en sí mismo. Ecuación de la traslación en el espacio Para el espacio sólo tenemos que considerar una componente más: x₂ = x₁ + a y₂ = y₁ + b z₂ = z₁ + c Ejemplo Dada la recta r y el plano 𝜋: r ≡ x/2 = (y+1)/-1 = (z+2)/-3 𝜋 ≡ 3x +2y + 3z -6 = 0 aplicar la traslación: x' = x+1 y' = y-2 z' = z + 2 Para la recta: x = x' - 1 y = y' + 2 z = z' -2 Sustituyendo: (x'-1)/2 = [(y'+2)+1]/-1 = [(z'-2)+2]/-3 r' ≡ (x'-1)/2 = (y'+3)/-1 = z'/-3 que es la ecuación de la recta transformada. Para el plano 𝜋≡3x + 2y + 3z -6 = 0 sustituimos como el ca...

 Sea un vector libre v del plano. Se llama traslación a la correspondencia 𝜏, tal que a cada punto P del plano se le asocia un punto P' de modo que el vector PP' es equivalente al v. Al módulo, dirección y sentido del vector v se les llama amplitud, dirección y sentido de la traslación 𝜏ᵥ. Ecuación Dado un sistema de coordenadas métricas de origen 0 y vectores unitarios u₁ y u₂, tenemos los puntos P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) y el vector v(a, b). Si OP₂ = OP₁ + P₁P₂ P₁P₂ = v deducimos que x₂ u₁ + y₂ u₂ = (x₁ u₁ + y₁ u₂ ) + (a u₁ + b u₂ ) entonces, las ecuaciones de la traslación 𝜏ᵥ son: x₂ = x₁ + a y₂ = y₁ + b Propiedades La transformada de un vector es otro equipolente al dado. La transformada de una recta es otra paralela. La transformada de una circunferencia es otra igual a ella, siendo su centro el transformado del centro de la dada mediante 𝜏ᵥ. La transformada de un ángulo será un ángulo congruente con él.