Grupo de traslaciones

 Dadas las traslaciones 𝜏ₐ y 𝜏ᵦ, el producto de ambas se define:

𝜏ₐ𝜏ᵦ(P) = 𝜏ᵦ[𝜏ₐ(P)]

Si:

  • P₂ = 𝜏ₐ(P₁)
  • P₃ = 𝜏ᵦ(P₂)

siendo P₁P₂ = a y P₂P₃ = b, tendremos:

P₁P₃ = a + b

es decir,

𝜏ₐ𝜏ᵦ = 𝜏a+𝛽

y es una nueva traslación.

Dadas las traslaciones:
  • 𝜏ₐ→a = AA₁, que transforma P en P₁
  • tₐ-1 →a = A₁A, que transforma P₁ en P
  • tₐ-1 es la traslación inversa de 𝜏ₐ
Si dada la traslación 𝜏ₐ el punto transformado P' coincide con el dado, los puntos de la figura dada coincidirán con los de su transformada. Esa traslación se llama nula o identidad (elemento neutro).

El conjunto de las traslaciones del plano forman un grupo abeliano, pues tiene la propiedad asociativa y conmutativa (el producto de las traslaciones es permutable).

Como todas las transformaciones de este grupo pertenecen a las del grupo total de movimientos, se dice que constituyen un subgrupo de éste.

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