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Si  Ln μ = Z, entonces e z = μ, siendo z un número complejo z = x + yi; por lo que e x+yi = μ, siendo μ por ejemplo otro complejo. Demostración e x+yi = 𝜌·(cos ⍺ + i·sen ⍺) e x = 𝜌, x =Ln 𝜌 y = ⍺ + 2K𝜋 Por lo que: z = Ln 𝜌 + (⍺ + 2K𝜋)i Es decir, el logaritmo neperiano de un número complejo es otro complejo que tiene por parte real el logaritmo neperiano del módulo y por parte imaginaria el argumento  ⍺ + 2K𝜋, o sea, existen en el campo complejo infinitos logaritmos, todos ellos con la misma parte real y difieren en la parte imaginaria en 2𝜋 el uno del otro . Por tanto, geométricamente estarán en una recta paralela al eje imaginario de abscisas x = Ln  𝜌. Se llama valor principal del logaritmo al valor K tal que: K = Ln 𝜌 + ⍺i Caso particular Reales negativos en el campo complejo Sabemos que en el campo real no tienen logaritmo los reales negativos. Vamos a verlo en...

 Algunos ejercicios sobre logaritmos, para aprender mejor lo ya explicado en entradas anteriores. Ejercicio 1 Dados los logaritmos de 2 y de 7, calcular el logaritmo de 4900 sin emplear las tablas. log 2 = 0,3010 log 7 = 0,8451 Lo primero que tenemos que hacer es descomponer el número dado en factores, con lo que tenemos: 4900 = 2²·5²·7² Luego: log 4900 = log( 2²·5²·7²) Aplicando el logaritmo de un producto: log 4900 = log2² + log5² + log7² Aplicando el logaritmo de una potencia: log 4900 = 2·log2 + 2·log5 + 2·log7 (1) El logaritmo de 2 y el de 7 nos lo da el problema; la única dificultad es saber cuál es el logaritmo de 5, lo cual se puede hacer en base al logaritmo de 10 y de 2, ambos conocidos: log 5 = log(10/2) Aplicando el logaritmo de un cociente: log 5 = log 10 - log 2 log 5 = 1 - 0,3010 log 5 = 0,6990 Ya no tenemos más que sustitu...

 En este apartado vamos a ver la relación existente entre logaritmos en distinta base de un mismo número. Tenemos: log a x = y => a y = x (1) log b x = z => b z = x (2) Comparando la expresión (1) con la (2) se obtiene: a y = b z Tomamos logaritmo en base a, quedando: log a a y = log a b z Aplicando las propiedades logarítmicas, tenemos: y·log a a = z·log a b Ahora bien, siempre que la base y el número coinciden, el logaritmo vale 1; por tanto log a a = 1 y la expresión anterior resulta: y = z·log a b Sustituimos z e "y" por su valor logarítmico, quedando: log a x = log b x·log a b O bien: log b x = log a x/log a b (A) Expresión que nos indica que sabiendo el logaritmo de un número "x" en una base a, podemos saber el logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que dividir el logaritmo dado por el logaritmo en base a, de la nueva base b. Esta fórmula de cambio de base se utiliza, fundament...

 Denominaremos cologaritmo de un número cualquiera "Z" al logaritmo de su inverso 1/Z. Para escribirlo, pondremos "colog Z". colog Z = log 1/Z = log 1 - log Z Hemos aplicado el logaritmo de un cociente. Por otro lado, como el logaritmo de 1 es 0, nos queda: colog Z = - log Z De lo visto anteriormente, se deduce que el cologaritmo de un número es su logaritmo cambiado de signo. Ahora bien, se nos plantea el problema de que la mantisa de un logaritmo nunca puede ser negativa. Para solucionarlo, se procede de la siguiente manera: se resta la unidad a la característica y se suma 1 a la mantisa. Ejemplos Calcular el cologaritmo de 856. colog 856 = -log 856 colog 856 = -2,9325 colog 856 = -2 -0,9325 Al sumar y restarle, simultáneamente la unidad, la cifra no varía. colog 856 = -2 - 1 +1-0,9325 colog 856 = 3 ,0675

 Esta entrada es continuación de la anterior. Problema inverso En este caso, nos dan el valor del logaritmo y tenemos que encontrar cuál es su número correspondiente, es decir, su antilogaritmo. Al igual que en la entrada anterior, se presentan dos casos: Caso primero Cuando la mantisa se encuentra directamente en las tablas . En este caso, la lectura es directa. Ejemplos Antilogaritmo 0,5478 = 3,53 Para realizar el cálculo, nos fijamos en la parte decimal del número, que es la mantisa 5478 y vemos si estas cifras se encuentran en la tabla. Si miramos detenidamente, veremos que esta mantisa corresponde al número 353, o lo que es lo mismo, se encuentra en el cruce de la fila 35 con la columna 3. Ahora nos fijamos en la parte entera del logaritmo 0,5478: vemos que es cero, por tanto el número que le corresponde ha de tener una sola cifra entera, así pues colocando la coma en el lugar preciso, tenemos el número 3,53

 Para el cálculo de los logaritmos decimales es necesario la utilización de unas tablas que contienen las mantisas de estos logaritmos. En nuestro caso, vamos a utilizar unas tablas que contienen las mantisas de los logaritmos, y que son de doble entrada. Se denominan de doble entrada por ser necesario leer en dos direcciones. Las dos primeras cifras del número se encuentran situadas a la izquierda, en la columna, mientras que la tercera cifra se halla en la primera fila. Cuando tengamos que buscar la mantisa de un número, buscaremos el cauce de ambas. Problema directo Este problema no es más que dado un número, encontrar su logaritmo. El paso primero es encontrar el valor de la característica. A continuación, se busca el valor de la mantisa utilizando las tablas. Caso primero El número sin coma se encuentra en las tablas. En este caso, la lectura de la mantisa es directa, ya que se encuentra en las tablas. Ejemplos ...

 Cálculo de la característica Todo número está comprendido entre dos potencias; la característica será el exponente de la menor de las dos potencias. Por ejemplo, sea el número 73. 73 es menor que 100, pero mayor que 10. 10¹<73<10² La característica de 10 es 1 y su mantisa es 0. La característica de 100 es 2 y su mantisa es 0. El logaritmo de 73 no podrá llegar a 2 pero tendrá que ser mayor que 1. 1<log 73 <2 log73 = 1,.... Sea ahora el número 0,0007. En este caso, el número es mayor que 0,0001 y menor que 0,001 0,0001 < 0,0007 < 0,001 10 -4 <0,0007<10 -3 Nuestro número tendrá por tanto un logaritmo comprendido entre -4 y -3: -4 < log 0,0007<-3 log 0,0007 = -4..... La mantisa de un logaritmo es siempre positiva; por ello cuando la característica es negativa se señala colocando encima de ella un signo negativo: log 0,...

 Cuando un logaritmo tiene como base 10, se denomina logaritmo decimal. Como ya se mencionó en el tema anterior, la forma usual de representar estos logaritmos decimales es "log" sin indicar base alguna. Este tipo de logaritmos cumplen todas las propiedades ya explicadas para los logaritmos en una base general "a". Todas las potencias de 10 tienen como logaritmo decimal su exponente. Esto se comprueba aplicando la definición de logaritmo ya explicada. Ejemplos 1. log 0,001 = log10 -3 log10 -3 = y 10 y = 10 -3 => y = -3 2. log0,1 = log10 -1 log10 -1 = y 10 y = 10 -1 => y = -1 3. log 100 = log 10² log10² = y 10 y = 10² => y = 2 4. log 1000 = log 10³ log 10³ = y 10 y = 10³ => y = 3 Como vemos, cualquier potencia de 10 tiene un número conocido y exacto. Cualquier otro número que no sea potencia de 10 tendrá como logaritmo un número decimal que no será exacto. Por ejemplo: log 5 = 0,699...

 Veamos algunos ejercicios de operaciones con logaritmos. Ejercicio 1 Desarrollar log a ((A³·√C)/B²) Primero quitamos el cociente: log a ((A³·√C)/B²) = log a ((A³·√C)) - log a B² Del primer logaritmo eliminamos el producto: log a ((A³·√C)/B²) = log a A³ + log a √C - log a B² Del segundo logaritmo quitamos la raíz: log a ((A³·√C)/B²) = loga A³ + (1/2)·log a C - log a B² Del primero y tercer logaritmo eliminamos las potencias: log a ((A³·√C)/B²) = 3·log a A + (1/2)·log a C - 2log a B Como se ve, lo único que se ha hecho es aplicar a la expresión de partida las propiedades de las operaciones con logaritmos descritas anteriormente. Ejercicio 2 Sea ahora la expresión a desarrollar: log a (41/3𝝅r³) En este caso, se nos plantea el logaritmo del producto entre tres términos. Aplicando el logaritmo de un producto tendremos: log a (41/3𝝅r³) = lo...

 Logaritmo de un producto El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de dichos números. Demostración Sean  log a M = X, log a N = Y Por definición M = a x , N = a y Si las multiplicamos, tenemos: M·N = a x ·a y Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes. M·N = a x+y De donde por la definición de los logaritmos podemos sacar que: log a (M·N) = x + y Como x e y son los respectivos logaritmos de M y N, podemos poner: log a (M·N) = log a M + log a N Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente entre dos números es el logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. Demostración log a M = X, log a N = Y Por definición: M = a x , N = a y Dividiendo las dos expresiones: M/N = a x /a y Para dividir dos potencias de la misma base se restan los exponentes: M/N = a x-y Por la definición de logaritmo: log a (M/N) = ...

Lo primero que tenemos que hacer es definir qué es el logaritmo de un número en una base dada; pues bien, el logaritmo de x en base "a" se puede definir como el número "y" al que es preciso elevar la base "a" para obtener x. Según que la base "a" sea mayor o menor que la unidad el sistema de logaritmos tendrá unas propiedades u otras. Sea la base mayor que la unidad (a > 1), entonces las propiedades serán: El logaritmo de 1 es igual a cero (log a 1 = 0) El logaritmo de la base será igual a la unidad. Los números menores que la unidad tienen logaritmos negativos. Los números mayores que la unidad tienen logaritmos positivos. El logaritmo de cero vale menos infinito (log a 0 = -∞). Los números negativos no tienen logaritmo. El logaritmo de un número que es una potencia exacta de la base es siempre igual al exponente. Cuando la base "a" es menor q...