Definición de logaritmo y propiedades

Lo primero que tenemos que hacer es definir qué es el logaritmo de un número en una base dada; pues bien, el logaritmo de x en base "a" se puede definir como el número "y" al que es preciso elevar la base "a" para obtener x.

Según que la base "a" sea mayor o menor que la unidad el sistema de logaritmos tendrá unas propiedades u otras.

Sea la base mayor que la unidad (a > 1), entonces las propiedades serán:
  • El logaritmo de 1 es igual a cero (loga1 = 0)
  • El logaritmo de la base será igual a la unidad.
  • Los números menores que la unidad tienen logaritmos negativos.
  • Los números mayores que la unidad tienen logaritmos positivos.
  • El logaritmo de cero vale menos infinito (loga0 = -∞).
  • Los números negativos no tienen logaritmo.
  • El logaritmo de un número que es una potencia exacta de la base es siempre igual al exponente.
Cuando la base "a" es menor que la unidad, alguna de estas propiedades cambian (a < 1).
  • El logaritmo de 1 continúa valiendo 0.
  • El logaritmo de a continúa siendo 1.
  • Los números menores que la unidad tienen ahora logaritmos positivos.
  • Los números mayores que la unidad tienen ahora logaritmos negativos.
  • El logaritmo de 0 en este caso es más infinito (+∞).
  • Los números negativos continúan sin tener logaritmo.
  • La última propiedad tampoco varía y cuando el exponente es potencia exacta la base del logaritmo es igual al exponente.
Una vez definido el logaritmo de un número en una base dada, pasaremos a definir el antilogaritmo.

El antilogaritmo de un número es el número que corresponde a un logaritmo dado:

Si logax = z, antilogaritmo z = x

Ejemplos

Calcular el log42

Por la definición de logaritmo de un número en una base dada, podemos poner que:

log42 = y
2 = 4y

Como 4 = 22, podemos poner:

2 = (22)y

Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes y queda:

2 = 22y

Como en los dos miembros las bases son iguales, para que se cumpla la igualdad los exponentes también han de ser iguales. Luego:

1 = 2y

Despejando

y = 1/2 ⇒ log42 = 1/2

En este caso, el antilogaritmo de 1/2 es 2 (por la definición de antilogaritmo).

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