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  Paralelismo Perpendicularidad Dos rectas a=a'; b=b' aa'-bb'+1 = 0 Recta plano Aa + Bb + C = 0 A/a= B/b=C/1 Dos planos A/A' = B/B' = C/C' AA'+BB'+CC'=0 Un cuadro resumen de las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, explicadas en las anteriores entradas. En las siguientes, intentaré explicar el cálculo de distancias. Gracias por leer y seguir el blog.

 Dados los planos: Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 Sea 𝜑 el ángulo que forman los dos planos. Trazamos las perpendiculares por el origen a estos planos. Los cosenos directores de estas rectas son: (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾) (cos 𝛼', cos 𝛽', cos 𝛾') y como cos 𝛼 = A/√(A²+B²+C²) cos 𝛽 = B/√(A²+B²+C²) cos 𝛾 = C/√(A²+B²+C²) Por lo tanto: cos 𝜑 = (AA' + BB' + CC')/√[(A²+B²+C²)(A'²+B'²+C'²)] sen 𝜑 = √[(AB'-BA')²+(BC'-CB')²+(CA'-C'A)²]/√((A²+B²+C²)(A'²+B'²+C'²) tg 𝜑 = ± √[(AB'-BA')²+(BC'-CB')²+(CA'-C'A)²]/(AA' + BB' + CC') Paralelismo y perpendicularidad Las condiciones de paralelismo son: AB' - BA' = 0 BC' - CB' = 0 CA' - AC' = 0 condiciones de paralelismo que nos da que los coeficientes de las variables de los planos deben ser proporcionales: A...

 Dada la recta r: x = az + h y = bz + k y el plano 𝜋: 𝜋 ≡ Ax + By + Cz + D El ángulo formado por la recta y el plano será complementario al formado por la recta dada y la normal del plano. Si 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son los ángulos que forma la recta dada con los ejes rectangulares y 𝛼', 𝛽', 𝛾' los que forman la normal al plano tendremos: cos 𝛼 = ±a/√(a²+b²+1) cos 𝛽 = ±b/√(a²+b²+1) cos 𝛾 = ±c/√(a²+b²+1) cos 𝛼' = ± A/√(A²+B²+C²) cos 𝛽' = ± B/√(A²+B²+C²) cos 𝛾' = ± C/√(A²+B²+C²) y como cos(𝜋/2 - 𝜑) = sen 𝜑 = cos 𝛼·cos 𝛼' + cos 𝛽·cos 𝛽' + cos 𝛾· cos 𝛾'. Si sustituimos, tendremos: sen 𝜑 = (Aa + Bb + Cc)/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)] cos 𝜑 = (√[(aB - bA)² + (aC-A)² +(bC -B)²]/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)] A partir de estos valores, podemos hallar la tangente de 𝜑. Paralelismo y perpendicularidad Si la recta es paralela al plano, 𝜑 = 0, y por tanto la condición  d...

 Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior. Ejemplo 1 Determinar las posiciones de los planos: 2x + y - z = 0 3x -y +z + 5 = 0 4x +2y -2z + 1 = 0 Segundo plano: 2x -y + 3z +1 = 0 4x -2y + 6z +5 = 0 -2x +y -3z +7 = 0 Tercer plano: x+y-z +2 = 0 2x-y+3z+5 = 0 3x+2z +7 = 0 Solución Para el primer plano : Estudiemos el rango de las matrices: y  los tres planos carecen de puntos en común y son paralelos. Para el segundo plano : Volvemos a comprobar los rangos de las matrices: y Si observamos los coeficientes de las x, y, z, de los planos observamos que por ser proporcionales son paralelos. Para el tercer plano , volvemos a comprobar los rangos de las matrices (de los coeficientes y de la ampliada, al igual que en los otros casos), y vemos que ambos son iguales a 2, lo que indica que es un sistema compatible indeterminado y los planos tienen una recta comú...

 Para que tres planos se corten en una recta debe cumplirse: siendo ABC, A'B'C' y A''B''C'' los coeficientes de los planos: Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 A''x + B''y + C''z + D'' = 0 y además la matriz  debe tener rango 2. Y con ambas condiciones, los tres planos deben cortarse en una recta impropia o propia. También podemos tomar otro criterio, dados los planos: P₁ = 0 P₂ = 0 P₃ = 0 se cortarán en una recta si podemos encontrar tres números 𝛼, 𝛽, 𝛾 que verifiquen: 𝛼P₁ + 𝛽P₂  + 𝛾P₃ = 0 de modo que las coordenadas de un punto que satisfaga: P₁ = 0 P₂ = 0 hará también que P₃ = 0, y por tanto P₃ pasará por la intersección de los otros dos. Condición para que cuatro planos se corten en un punto P₁≡Ax + By + Cz +D = 0 P₂≡A'x + B'y + C'z +D' = 0 P₃≡A''x + B''y ...

 Dado un plano A'''x + B'''y + C'''z + D''' = 0, éste será incidente con los planos Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 A''x + B''y + C''z + D'' = 0 En el punto de incidencia si: 𝚫 = 0 y  Podemos expresarlo como: (A'''B'''C'''D''') = 𝜆(ABCD) + 𝜇(A'B'C'D') + v(A''B''C''D'') Si sustituimos en la ecuación del plano dado tendremos: 𝜆(Ax + By + Cz + D) + 𝜇(A'x + B'y + C'z + D') + v(A''x + B''y + C''z + D'') = 0 que es la radiación de planos cuya base es el punto de incidencia de los planos. Los parámetros 𝜆, 𝜇, v son las coordenadas homogéneas de los planos de radiación. Radiación impropia de planos Se designa así al conjunto de todos los planos que son paralelos a una ...

 Sea la recta x = az + h y = bz + k y el plano Ax + By + Cz + D = 0 Para determinar el punto de intersección resolveremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y nos queda: A(az + h) + B(bz +k) + Cz + D = 0 entonces:  z = (Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C) y = -b[(Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C)] + k x = -a[(Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C)] + h Se dan tres casos: Que se corten en un punto impropio, entonces: Aa + Bb + C ≠ 0 La recta y el plano son paralelos: Aa + Bb + C = 0 Ah + Bk + D ≠ 0 La recta está situada en el plano si se verifica que: Aa + Bb + C = 0 Ah + Bk + D = 0 Recta que pasa por un punto y es paralela a un plano Para hallar la recta paralela a un plano por un punto dado tendremos un problema indeterminado, pues sólo nos imponen tres condiciones. Si hay paralelismo, entonces hay una condición, y que pase por un punto, son dos condiciones; y para calcular los parámetros de la recta, que son cuatro, ...

 Dados un punto P(x₁, y₁, z₁) y la recta: x = az + h y = bz + k tendremos un haz de planos cuya arista será la recta y cuya ecuación: x - az - h +𝜆(y -bz - k) = 0 como el plano debe pasar por P(x₁, y₁, z₁), verificarán la ecuación anterior: x - az₁ - h +𝜆(y₁ -bz₁ - k) = 0 de donde obtendríamos 𝜆, y sustituyendo en la ecuación del haz: ( x - az - h)/( x - az₁ - h) = ( y -bz - k)/ (y₁ -bz₁ - k) para la recta de ecuación: x = my + p x = nz + q el plano: (x-my-p)/ (x₁-my₁-p) = (x -nz -q)/ (x₁ -nz₁ -q) En general, si la recta de intersección de los planos P = 0, P' = 0 y el punto  (x₁, y₁, z₁), la ecuación es: P/P₁ = P'/P'₁

 Dadas dos rectas en la ecuación de forma reducida: x = az + h y = bz + k y  x = a'z + h' y = b'z + k' Si ambas se cortan en un punto o son paralelas (a = a', b = b') se tiene un sistema de cuatro ecuaciones compatibles y la condición de compatibilidad se verifica al eliminar las incógnitas: (a -a')z + (h - h') = 0 (b - b')z + (k - k') = 0 Por lo que: (h-h')/(a-a') = (k - k')/(b-b') (1) Luego si tenemos dos rectas en su forma normal : (x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z - z₁)/r (x-x₂)/p' = (y-y₂)/q' = (z - z₂)/r' de estas ecuaciones obtendremos la condición para que estén en un plano: (x₁, y₁, z₁) => (x₁ + 𝜌p, y₁ + 𝜌q, z₁ + 𝜌r) (x₂, y₂, z₂) => (x₂ + 𝜌p', y₂ + 𝜌q', z₂ + 𝜌r') tenemos entonces Podemos restar la segunda fila de la primera fila, la primera de la tercera, y la segunda de la cuarta. Entonces nos quedaría: Si se ve...

 Dados los planos Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 A''x + B''y + C''z + D'' = 0 tenemos las siguientes matrices, la matriz R y la matriz S: Si el rango de ambas matrices es 3, Rango(R) = Rango(S) = 3, el sistema tiene una sola solución y los planos forman un triedro. Si los rangos de R y S son diferentes, Rango(R) = 2, Rango(S) = 3 el sistema no tiene solución. Si AB' - A'B ≠ 0, entonces los dos planos se cortan según una recta paralela al tercer plano. Si el rango de ambos es igual a 2, Rango(R) = Rango(S) = 2 entonces, por ejemplo, (A'', B'', C'', D'') es combinación lineal de (A, B, C, D) y (A', B', C'. D'): (A'', B'', C'', D'') = 𝜆(A, B, C, D) + 𝜇(A', B', C'. D') Sustituyendo en A''x + B''y + C''z + D'' = 0, tenemos: A''x + B''y + C''z + D'' = 𝜆(Ax + By...

 Dados planos: Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D = 0 Tendremos dos matrices: y  Se pueden dar los siguientes casos: Si el rango de ambas matrices es el mismo e igual a 2, es decir, rango(R) = rango(S) = 2, tendremos dos planos distintos que definen una recta. Si los rangos de las matrices son distintos, rango(R) = 1, rango(S) = 2, el sistema no tiene solución, por lo que tenemos dos planos paralelos. Por lo tanto, las condiciones para que dos planos sean paralelos son: A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D'

 Plano que pasa por un punto El plano que pasa por un punto lo obtendremos partiendo de la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0 Siendo P(x₁, y₁, z₁) un punto del plano que debe verificar: Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 Si restamos ambas ecuaciones: A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0 tenemos dos parámetros A/C, B/C, y representa la doble infinidad de planos que pasan por P₁, es decir, la radiación de centro P₁, Plano que pasa por dos puntos Si queremos que el plano pase por dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), tendremos: Ax + By + Cz + D = 0 Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0 Si eliminamos D y C: A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0 A(x₂ - x₁) + B(y₂ - y₁) + C(z₂ - z₁) = 0 A[ (x - x₁) (z₁ - z₂) -  (z - z₁) (x₁ - x₂)] + B[ (y - y₁) (z₁ - z₂) -  (z - z₁)(y₂ - y₁)] = 0 Ahora el parámetro es A/B y tenemos una ecuación indeterminada que representa el haz de planos de ari...

 Para la determinación de un plano necesitamos tres condiciones geométricas, ya que si en la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 que tiene cuatro coeficientes A, B, C, D, dividimos por uno de ellos, quedan tres arbitrarios, por lo que necesitamos tres ecuaciones, y por lo tanto, tres condiciones. Para la forma ordinaria: z = mx + ny + h el plano depende de m, n, h. En la forma canónica, el plano depende de los segmentos a, b, c y para la forma hessiana tenemos cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾, y d, considerando los coeficientes arbitrarios: cos 𝛼/d, cos 𝛽/d, cos 𝛾/d como tenemos tres indeterminadas, necesitamos tres condiciones.

 Dados tres planos: Q = 0 Q' = 0 Q'' = 0 Por combinación lineal de Q y Q' obtenemos, siendo 𝜆 un parámetro variable del haz de planos cuya arista es la intersección de Q y Q' mediante la ecuación: Q + 𝜆Q' = 0 Si Q y Q' son paralelos, tendremos un haz de planos paralelos. Análogamente, si 𝜆 y 𝜇 son parámetros variables, la ecuación Q + 𝜆Q' + 𝜇Q'' = 0 representa una doble infinidad de planos que pasan por el punto de intersección de los tres planos Q = 0, Q' = 0, Q'' = 0, es decir, tenemos una radiación de centro en el punto común  a Q, Q', Q''. Si los tres planos son paralelos a la misma recta, este punto es impropio.

 Veamos algunos ejemplos del cálculo de volúmenes y áreas en el espacio afín. Volumen de un tetraedro Sean los vértices: A(x₁, y₁, z₁) B(x₂, y₂, z₂) C(x₃, y₃, z₃) D(x₄, y₄, z₄) El volumen, siendo los ejes rectangulares, vendrá dado por: o lo que es lo mismo: Área de un triángulo Sean los vértices: P₁(x₁, y₁, z₁) P₂(x₂, y₂, z₂) P₃(x₃, y₃, z₃) El área de los ejes rectangulares será igual a la mitad de la raíz cuadrada de la siguiente expresión :

 Dado el plano que viene definido por la ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0 o bien, por la forma hessiana: xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾 - 𝜌 = 0 en ejes rectangulares tendremos que: cos² 𝛼 + cos² 𝛽 + cos² 𝛾 = 1 cos 𝛼/A =  cos 𝛽/B =  cos 𝛾/C =  - 𝜌/D = 1/±√(A²+B²+C²) y con ello podemos calcular los cosenos directores de la normal del plano: cos 𝛼 = A /±√(A²+B²+C²) cos 𝛽 = B /±√(A²+B²+C²) cos 𝛾 = C /±√(A²+B²+C²) y también la distancia del origen al plano: -𝜌 =   D /±√(A²+B²+C²) Por lo tanto, la forma hessiana o ecuación normal del plano dado por Ax + By + Cz + D = 0 será: (Ax + By + Cz + D)/ ±√(A²+B²+C²) = 0

 Veamos los casos particulares más usuales. Ecuación homogénea Si empleamos las razones x/t, y/t, z/t o bien x₁/x₄, x₂/x₄, x₃/x₄ obtenemos una ecuación lineal homogénea operando: Ax₁ + Bx₂ + Cx₃ + Dx₄ = 0 donde x₁, x₂, x₃, x₄ son las coordenadas homogéneas. Ecuaciones de los planos coordenados Plano 0yz: x = 0 Plano 0xz: y = 0 Plano 0xy: z = 0 estos planos coordenados con el plano del infinito forman el tetraedro fundamental. Ecuación de un plano que pasa por el origen Ax + By + Cz = 0 Ecuaciones de los planos que son paralelos a los ejes Paralelo al eje 0z: Ax + By + D = 0 Paralelo al eje 0y: Ax + Cz + D = 0 Paralelo al eje 0x: By + Cz + D = 0 Ecuaciones de los planos que pasan por los ejes Plano que pasa por el eje 0z: Ax + By = 0 Plano que pasa por el eje 0y: Ax + Cz = 0 Plano que pasa por el eje 0x: By + Cz = 0 Ecuaciones de los planos paralelos a los coordenados Plano paralelo al eje 0yz: Ax + D = 0 Plano paralelo al eje 0xz: By + D = 0 Plano paralelo al eje 0xy: Cz + D = 0

 Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior . Ejemplo 1 Dados los puntos A(-2, 1, 5), B(3, 1, 1), C(2, 2, 0) tenemos que determinar la ecuación del plano que pasa por estos tres grupos. La ecuación vendrá dada por el determinante: Si desarrollamos el determinante, tenemos: que es igual a: 4x + 6y + 8z -26 = 0 Ejemplo 2 Sea la recta r de ecuaciones paramétricas x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = 1 + 2t y el punto P(0, -1, 2). Tenemos que determinar al ecuación del plano que definen r y P. Considerando un punto de la recta, por ejemplo, el correspondiente a t = 0. es decir, el P₁(2, 1, 1), el vector P₁P tiene por componentes (2, 2, -1), por tanto las ecuaciones del plano serán: x = 2 + 2s + 3t y = 1 +2t + 2s z = 1 - 1s + 2t Ejemplo 3 Dadas las rectas r y q, tal que la recta r es igual a x = 1 + t y = 2 - t z = t y la recta q es igual a x = 1 + t y = t z = t que se cortan en el punto (2, 1, 1), tenemos que hallar la ecuación del plano determinado por ellas. Por ser P(x₀, y₀...

 Veamos otras formas de representar el plano. Ecuación ordinaria del plano Si partimos de la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 y hacemos explícita la z: z = (-A/C)x -(B/C)y - D/C tenemos la ecuación ordinaria ( z = mx + ny + h ) que permite obtener secciones planas de las superficies por la fácil eliminación de z. Ecuación del plano en función de los segmentos que intercepta en los ejes Dada la ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0 vamos a determinar los segmentos que intercepta: Con el eje x, tenemos: y = 0 z = 0 Aa + D = 0, por lo que A = -D/a Con el eje y: x = 0 z = 0 Bb + D = 0, por lo que B = -D/b Con el eje z: x = 0 y = 0 Cc + D = 0, por lo que C = -D/c Si sustituimos en la ecuación general los valores que hemos obtenido para A, B, C: x/a + y/b + z/c = 1 , que es la ecuación canónica. Forma hessiana de la ecuación del plano Se obtiene en función de la longitud d de la perpendicular trazada desde el origen del plano y de los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 que forma esta perpendicular al plan...

 De acuerdo con las ecuaciones anteriores, podemos escribir llamando a: S = 1 + 𝜆 + 𝜇 Sx = x₁ + 𝜆x₂ + 𝜇x₃ Sy = y₁ + 𝜆y₂ + 𝜇y₃ Sz = z₁ + 𝜆z₂ + 𝜇z₃ de modo que un punto P pertenecerá al plano que contiene a P₁, P₂, P₃ si este sistema es compatible, es decir: este determinante representa la ecuación del plano y desarrollándola por los elementos de la primera fila tenemos: Ax + By + Cz + D = 0 (forma general de la ecuación del plano) Si un punto se mueve por el espacio de forma que sus coordenadas satisfacen siempre una ecuación lineal, dicho punto describe un plano determinado. Si tenemos 4 puntos que verifican la ecuación anterior, entonces es que están en un plano. Por ejemplo, para los puntos: P₁(x₁, y₁, z₁) P₂(x₂, y₂, z₂) P₃(x₃, y₃, z₃) P₄(x₄, y₄, z₄) Tendremos el sistema lineal homogéneo: Ax₁ + By₁ +Cz₁ + D = 0 Ax₂ + By₂ +Cz₂ + D = 0 Ax₃ + By₃ +Cz₃ + D = 0 Ax₄ + By₄ +Cz₄ + D = 0 siendo A, B, C, D no nulos: