Ángulo que forman recta y plano

 Dada la recta r:

• x = az + h
• y = bz + k

y el plano 𝜋:

𝜋 ≡ Ax + By + Cz + D

El ángulo formado por la recta y el plano será complementario al formado por la recta dada y la normal del plano.

Si 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son los ángulos que forma la recta dada con los ejes rectangulares y 𝛼', 𝛽', 𝛾' los que forman la normal al plano tendremos:

1. cos 𝛼 = ±a/√(a²+b²+1)
2. cos 𝛽 = ±b/√(a²+b²+1)
3. cos 𝛾 = ±c/√(a²+b²+1)
4. cos 𝛼' = ± A/√(A²+B²+C²)
5. cos 𝛽' = ± B/√(A²+B²+C²)
6. cos 𝛾' = ± C/√(A²+B²+C²)

y como cos(𝜋/2 - 𝜑) = sen 𝜑 = cos 𝛼·cos 𝛼' + cos 𝛽·cos 𝛽' + cos 𝛾· cos 𝛾'. Si sustituimos, tendremos:

• sen 𝜑 = (Aa + Bb + Cc)/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)]
• cos 𝜑 = (√[(aB - bA)² + (aC-A)² +(bC -B)²]/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)]

A partir de estos valores, podemos hallar la tangente de 𝜑.

Paralelismo y perpendicularidad

• Si la recta es paralela al plano, 𝜑 = 0, y por tanto la condición  de paralelismo de recta y plano es Aa + Bb + Cc = 0.
• Si la recta es perpendicular al plano, 𝜑 = 𝜋/2, por lo que tg 𝜑 = ∞. Las condiciones de perpendicularidad, son por tanto A/a = B/b = C/1.

Consecuencias geométricas

1. Por un punto sólo podemos trazar una perpendicular a un plano dado:

(x-x₁)/A = (y-y₁)/B = (z-z₁)/C

Siendo el plano Ax + By + Cz + D = 0 y el punto P(x₁, y₁, z₁)

2. Por un punto dado, sólo podemos trazar un plano perpendicular a una recta:

a(x-x₁) + b(y-y₁) + (z-z₁) = 0

siendo la recta:

(x-p)/a =(y-p)/b = z/1

y el punto P(x₁, y₁, z₁).

3. Cuando un plano es perpendicular a una recta, las trazas del plano son perpendiculares a las proyecciones de aquélla sobre un mismo plano.
4. Por un punto podemos trazar infinitas rectas paralelas a un plano dado y éstas formarán un plano paralelo al dado.
5. Por un punto, podemos trazar infinitos planos paralelos a una recta dada formando un  haz cuya arista será una recta paralela a la dada.