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 Sabemos que la serie armónica es divergente. Vamos a calcular la suma de sus n primeros términos y conocer el índice de infinitud. La sucesión (1+1/n)ⁿ es estrictamente creciente y sabemos que su límite, cuando n tiende a infinito, es el número e, luego e > (1 + 1/n)ⁿ y tomando logaritmos neperianos: 1 > n·Ln(1 + 1/n) Por lo tanto: 1/n > [Ln(n+1)/n] Por otra parte, sabemos que el límite de (1 - 1/n)ⁿ cuando n tiende a infinito es 1/e, por lo que 1/e >(1 - 1/n)ⁿ. Tomando logaritmos tenemos: Ln(1/e)>n·Ln[(n-1)/n] Operando con logaritmos: -1/n >Ln[(n-1)/n] Luego: 1/n>(Ln(n+1)-Ln(n)) Por otra parte: 1/n <Ln(n/(n-1) y 1/(n+1)<Ln[(n+1)/n] = Ln(n+1) - Ln(n) Luego: 1/(n+1)<Ln(n+1) - Ln(n)<1/n 1/n<Ln(n) - Ln(n-1)<1/(n-1) 1/(n-1)<Ln(n-1) - Ln(n-2)<1/(n-2) 1/2<Ln2 - Ln1<1 Sumando tendremos: 1/(n+1) + 1/n + 1/(n-1) + ... + 1/2<Ln(n+1)<1/n + 1/(n-1) + ... + 1 H n+1 - 1<Ln(n+1)<Hₙ Hₙ<...

 Sea f:I→R donde I es un intervalo de R. Una sucesión uₙ está definida por u₀ ∈ E y la relación de recurrencia un+1 = f(uₙ). La función será supuestamente continua. Si la sucesión es convergente al límite ℓ, entonces: ℓ = lim(u n+1 ) = lim f(uₙ) = f(ℓ) Habrá que buscar las soluciones de esta ecuación y verificar que la sucesión uₙ converge o no hacia un número I. Esta verificación se hará en dos casos: f es creciente en I, entonces la sucesión es monótona si f(u₀) = u₁ > u₀ se tiene por recurrencia. Si f(u₀) = u₁ < u₀, la sucesión al contrario es decreciente. El problema es encontrar un mayorante o minorante que será en general el límite ℓ. f es decreciente en I: la función compuesta f⭘f es creciente y las sucesiones u 2n y u 2n+1 son una creciente y la otra decreciente. Si son convergentes sus límites pueden ser iguales y su límite común es el uₙ, pero también pueden ser distintos y la sucesión uₙ no converge ...