Sucesiones recurrentes simples

 Sea f:I→R donde I es un intervalo de R. Una sucesión uₙ está definida por u₀ ∈ E y la relación de recurrencia un+1 = f(uₙ). La función será supuestamente continua. Si la sucesión es convergente al límite ℓ, entonces:

ℓ = lim(un+1) = lim f(uₙ) = f(ℓ)

Habrá que buscar las soluciones de esta ecuación y verificar que la sucesión uₙ converge o no hacia un número I. Esta verificación se hará en dos casos:

  • f es creciente en I, entonces la sucesión es monótona si f(u₀) = u₁ > u₀ se tiene por recurrencia. Si f(u₀) = u₁ < u₀, la sucesión al contrario es decreciente. El problema es encontrar un mayorante o minorante que será en general el límite ℓ.
  • f es decreciente en I: la función compuesta f⭘f es creciente y las sucesiones u2n y u2n+1 son una creciente y la otra decreciente. Si son convergentes sus límites pueden ser iguales y su límite común es el uₙ, pero también pueden ser distintos y la sucesión uₙ no converge sino en dos valores.
En todo caso convendrá verificar si la sucesión está bien definida, es decir, para todo u:
uₙ ∈ I

Ejemplo

Estudiar la sucesión uₙ definida por u₀ > -3/2 y un+1 = √(2uₙ + 3).

La función f:x→√(2x + 3) es definida, continua, creciente en [-3/2, +∞); un límite posible viene dado por ℓ = √(2ℓ + 3) donde ℓ ≥0 y ℓ²-2ℓ-3 = 0, es decir, ℓ = 3. La sucesión es monótona.

u₁ = √(2u₀+3) ≥u₀ ↔ u₀≤0 o u₀≥0 u₀²-2u₀-3≤0

La sucesión es creciente si -3/2≤u₀<3, y decreciente si u₀>3. Para u₀ = 3 es constante.

El crecimiento de f asegura que:

uₙ≤3 → un+1 = f(uₙ) ≤ f(3) = 3
uₙ≥3→un+1≥3

En definitiva:

-3/2≤u₀<3

Sucesión creciente  mayorada por tanto convergente al límite 3.

u₀ > 3

Sucesión decreciente minorada por tanto convergente al límite 3.

Por si tenéis duda, os aclaro que el elemento mayorante es la cota superior de un subconjunto B de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A mayor o igual que cualquier elemento de B. El minorante en cambio la cota inferior de un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento de P menor o igual que cualquier elemento de S. Podéis echar un vistazo también a los enlaces de la entrada.

Las sucesiones recurrentes suelen ser complejas. Las veremos con mayor detalle cuando veamos algebra lineal, bases...

Comentarios

Publicar un comentario

Puedes dejar tus comentarios, sugerencias o dudas.

Entradas populares de este blog

Cálculo de la característica y de la mantisa

 Cálculo de la característica Todo número está comprendido entre dos potencias; la característica será el exponente de la menor de las dos potencias. Por ejemplo, sea el número 73. 73 es menor que 100, pero mayor que 10. 10¹<73<10² La característica de 10 es 1 y su mantisa es 0. La característica de 100 es 2 y su mantisa es 0. El logaritmo de 73 no podrá llegar a 2 pero tendrá que ser mayor que 1. 1<log 73 <2 log73 = 1,.... Sea ahora el número 0,0007. En este caso, el número es mayor que 0,0001 y menor que 0,001 0,0001 < 0,0007 < 0,001 10 -4 <0,0007<10 -3 Nuestro número tendrá por tanto un logaritmo comprendido entre -4 y -3: -4 < log 0,0007<-3 log 0,0007 = -4..... La mantisa de un logaritmo es siempre positiva; por ello cuando la característica es negativa se señala colocando encima de ella un signo negativo: log 0,0007
Leer más

Fórmula de aproximación de Taylor

 Polinomios de Taylor Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir: P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación . Los coeficientes se determinan del siguiente modo: P(x₀) = a₀ Derivamos el polinomio sucesivamente: P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀) n-1 P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀) n-2 .......................................................................................................... P (n (x) = n!·aₙ Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos: P'(x₀) = a₁ P''(x₀) = 2!·a₂ P'''(x₀) = 3!·a₃ ..............................................................................
Leer más

Formas de representar la recta (1)

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de la
Leer más