Sucesiones monótonas
Las sucesiones monótonas pueden ser:
- crecientes
- decrecientes
- no crecientes
- no decrecientes
- constantes
Sucesiones monótonas crecientes
Una sucesión aₙ es monótona creciente cuando se verifica que aₙ < an+1
para todo n ∈ N - {0}.
Para comprobar que una sucesión sea monótona creciente, tendremos que ver por
tanto que:
an+1 - an > 0 para todo n ∈ N - {0}
Ejemplo
Dada la sucesión aₙ = (2n - 1)/2. Tenemos que comprobar que es una sucesión
monótona creciente.
an+1 - an = [2(n + 1) - 1]/2 - (2n - 1)/2 = (2n + 2 - 1 - 2n + 1)/2 = 2/2 =
1
Vemos que an+1 - an > 0, por lo que la sucesión
será por tanto una sucesión monótona creciente.
Sucesiones monótonas decrecientes
Una sucesión aₙ es monótona decreciente cuando se verifica que an
> an+1para cualquier n ∈ N - {0}; es decir, cuando cada
término de la sucesión es mayor que el siguiente.
Para comprobar que una sucesión sea monótona decreciente se tendrá que
verificar que an - an+1 > 0 para cualquier n
∈ N - {0}
Ejemplo
Comprobar que la sucesión aₙ = 1/(n + 1) es monótona decreciente.
Tendremos que comprobar que an - an+1 > 0.
an - an+1 = 1/(n + 1) - 1/((n + 1) + 1) = (n + 2 -(n
+ 1))/[(n+1)(n + 2)] = 1/[(n+1)(n+2)]
El numerador es positivo, el denominador es el producto de dos números
positivos que será positivo para cualquier valor de n, por tanto, an
- an+1 > 0 para n ∈ N - {0}
Sucesión no creciente
Decimos que una sucesión aₙ es no creciente cuando ∀ n an ≤ an+1
Sucesión no decreciente
Decimos que una sucesión aₙ es no decreciente cuando ∀ n an ≥ an+1
Sucesión constante
Decimos que una sucesión es constante cuando ∀ n
an = an+1 = a
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