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 Algunos ejercicios para entender mejor lo aprendido. Ejercicio 1 Resolver un triángulo del que se conoce: el lado b = 73 m y los ángulos A = 43º 30' y B = 65º 40'. Tenemos que hallar los lados a y c, y el ángulo C. El cálculo del ángulo que nos falta es sencillo, puesto que: A + B + C = 180º C = 180º - (A + B) C = 180º - (43º 30' + 65º 40') C = 180º - 109º 10' C = 70º 50' El cálculo de los lados podemos hacerlo a través del teorema del seno . a/sen A = b/sen B => a = b·(sen A/sen B) Sustituyendo: a = 73·(sen 43º 30'/ sen 65º 40') = 73·(0,6884/0,9112) = 55,15 m (aprox.) El otro lado: b/sen B = c/sen C => c = b·(sen C/sen B) Sustituyendo: c = 73·(sen 70º 50'/sen 65º 40') = 73·(0,9446/0,9112) = 75,6 m (aprox.) Ejercicio 2 Resolver el triángulo del que se conocen sus lados a = 20 m y b = 14 m, y el ángulo C = 57º 59'. Tenemos que hallar el lado c, y los ángulo A y B. Aplicando el teorema del coseno podemos calcular el lado que nos falta...

 El teorema del coseno dice: a² = b² + c² - 2bc·cos A Si despejamos cos A, tendremos: cos A = (b² + c 2 - a 2 )/2bc (I) Si sumamos o restamos a ambos lados de una igualdad, un mismo número, la igualdad no varía, por tanto a la expresión (I) se le suma la unidad: Realizando las operaciones, queda: 1 + cos A = (2bc + b² + c² - a²)/2bc Pero: 2bc + b² + c² = (b + c)² luego podemos poner: 1 + cos A = [(b + c)² - a²]/2bc Por otro lado, al ser una diferencia de cuadrados: (b + c)² - a² = [(b + c) + a]·[(b + c) - a] (*) Al sustituir nos queda: 1 + cos A = [[(b + c) + a]·[(b + c) - a]]/2bc Por otro, si la expresión (I) la resto ahora de la unidad nos quedará: 1 - cos A = 1 - (b² + c² - a²)/2bc Realizamos las operaciones: 1 - cos A = (2bc - b² - c² + a²)/2bc Pero: 2bc - b² - c² = -(b - c)² luego podemos poner: 1 - cos A = [a² -(b -c)²]/2bc Como se trata de una diferencia de cuadrados: a² - (b - c)² = [a + (b -c)]·[a - (b - c)] Al sustituir nos queda...

 Si recordamos el teorema del seno : a/sen A = b/sen B Aplicando las propiedades de las proporciones que nos dicen que podemos obtener otras fracciones equivalentes, bien sumando los antecedentes y consecuentes, bien restándolos tenemos: a/sen A = b/sen B = (a + b)/(sen A + sen B) = (a - b)/(sen A - sen B) De las dos últimas proporciones se deduce por tanto: (a + b)/(a - b) = (sen A + sen B)/(sen A - sen B) Transformando ahora la suma y la resta de senos en productos : (a + b)/(a - b) = [2sen((A + B)/2)·cos((A - B)/2)]/[2cos((A + B)/2)·sen((A - B)/2)] (1) Como : sen((A + B)/2)/cos((A + B)/2) = tg((A + B)/2) cos((A - B)/2)/sen((A - B)/2) = ctg((A - B)/2) = 1/[tg((A -B)/2)] La fórmula (1) quedará simplificada de la siguiente manera: (a + b)/(a - b) = tg((A + B)/2)·ctg((A - B)/2) O también: (a + b)/(a - b) = tg((A + B)/2)/tg((A - B)/2) Por tanto, la fórmula de la tangente nos dice que: En un triángulo cualquiera, la suma de dos lados, partida por la diferencia de esos mismos lados, es...

 Supongamos un triángulo oblicuángulo como el representado en la figura de vértices A, B y C; y lados a, b y c. Dibujemos la altura CH de esta manera, y así obtendremos dos triángulos rectángulos ACH y BCH. Se cumple en el triángulo BCH: a² = h² + m² (1) En el triángulo ACH h² = b² - p² (2) Como el segmento c es la suma de m y p (m + p), podemos poner: m = c - p luego m² = (c - p)² = c² + p² - 2cp (3) En la expresión (1) sustituimos los valores de h² y m² obtenidos en las expresiones (2) y (3) respectivamente, con lo que tendremos: a² = b² - p² + c² + p² - 2cp a² = b² + c² - 2cp Como p = b·cos A La fórmula quedará: a² = b² + c² - 2bc·cos A Permutando las letras podríamos obtener una ecuación para cada uno de los lados del triángulo: a² = b² + c² - 2bc·cos A b² = a² + c² - 2ac·cos B c² = b² + a² - 2ba·cos C Esto es lo que se denomina Ley del coseno, que se puede enunciar diciendo: El cuadrado de un lado cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos ...

 Supongamos un triángulo oblicuángulos, como el de abajo, de vértices A, B y C y lados a, b y c. Trazamos su altura h, que coincidirá con el segmento CH, el rectángulo oblicuángulo habrá quedado dividido en dos triángulos rectángulos, por un ACH y por otro BCH. En el triángulo se verifica: h = a·sen B h = b·sen A Si los primeros miembros de las dos ecuaciones son iguales, los segundos miembros tienen también que igualarse, luego: a·sen B = b·sen A Expresión que puede expresarse como: a/sen A = b/sen B Cambiando las letras para referirlo al ángulo C, nos quedaría: a/sen A = b/sen B = c/sen C = constante Estas razones serán igual a un número constante, por lo que podemos afirmar que en cualquier triángulo, la razón de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.