Teorema del coseno

 Supongamos un triángulo oblicuángulo como el representado en la figura de vértices A, B y C; y lados a, b y c. Dibujemos la altura CH de esta manera, y así obtendremos dos triángulos rectángulos ACH y BCH.

Triángulo oblicuángulo

Se cumple en el triángulo BCH:

a² = h² + m² (1)

En el triángulo ACH

h² = b² - p² (2)

Como el segmento c es la suma de m y p (m + p), podemos poner:

m = c - p

luego

m² = (c - p)² = c² + p² - 2cp (3)

En la expresión (1) sustituimos los valores de h² y m² obtenidos en las expresiones (2) y (3) respectivamente, con lo que tendremos:

a² = b² - p² + c² + p² - 2cp

a² = b² + c² - 2cp

Como

p = b·cos A

La fórmula quedará:

a² = b² + c² - 2bc·cos A

Permutando las letras podríamos obtener una ecuación para cada uno de los lados del triángulo:

a² = b² + c² - 2bc·cos A

b² = a² + c² - 2ac·cos B

c² = b² + a² - 2ba·cos C

Esto es lo que se denomina Ley del coseno, que se puede enunciar diciendo:

El cuadrado de un lado cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.

NOTA: El caso en el cual el triángulo está colocado de tal forma que la altura queda fuera del mismo, la forma de operar es muy parecida y se llega al mismo resultado.

Triángulo con la altura fuera del mismo


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