Fórmulas de Briggs

 El teorema del coseno dice:

a² = b² + c² - 2bc·cos A

Si despejamos cos A, tendremos:

cos A = (b² + c² - a²)/2bc (I)

Si sumamos o restamos a ambos lados de una igualdad, un mismo número, la igualdad no varía, por tanto a la expresión (I) se le suma la unidad:

Realizando las operaciones, queda:

1 + cos A = (2bc + b² + c² - a²)/2bc

Pero:

2bc + b² + c² = (b + c)²

luego podemos poner:

1 + cos A = [(b + c)² - a²]/2bc

Por otro lado, al ser una diferencia de cuadrados:

(b + c)² - a² = [(b + c) + a]·[(b + c) - a] (*)

Al sustituir nos queda:

1 + cos A = [[(b + c) + a]·[(b + c) - a]]/2bc

Por otro, si la expresión (I) la resto ahora de la unidad nos quedará:

1 - cos A = 1 - (b² + c² - a²)/2bc

Realizamos las operaciones:

1 - cos A = (2bc - b² - c² + a²)/2bc

Pero:

2bc - b² - c² = -(b - c)²

luego podemos poner:

1 - cos A = [a² -(b -c)²]/2bc

Como se trata de una diferencia de cuadrados:

a² - (b - c)² = [a + (b -c)]·[a - (b - c)]

Al sustituir nos queda:

1 - cos A = [(a + b - c)·(a - b + c)]/2bc (**)

Si llamamos ahora al perímetro del triángulo (suma de los lados de un triángulo) 2p resulta que:

• a + b + c = 2p
• -a + b + c = a + b + c - 2a = 2p - 2a = 2(p - a)
• a - b + c = a + b + c - 2b = 2p - 2b = 2(p - b)
• a + b - c = a + b + c - 2c = 2p - 2c = 2(p - c)

Si recordamos las fórmulas del ángulo mitad:

1 + cos A = 2·cos²(A/2); 1 - cos A = 2·sen²(A/2)

Si sustituimos en las expresiones (*) y (**) todos los valores, tendremos:

En la expresión (*):

2·cos²(A/2) = [2p·2(p - a)]/2bc

Tras realizar una serie de operaciones y simplificar:

cos(A/2) = √[(p(p - a))/bc]

En la expresión (**):

2·sen²(A/2) = [[2(p - c)]·[2(p - b)]]/2bc

Tras realizar una serie de operaciones y simplificar:

sen(A/2) = √[(p - c)·(p - b)/bc]

Si ahora dividimos una expresión por otra, tenemos:

tg(A/2) = √[(p - c)·(p - b)/bc] ÷ √[(p(p - a))/bc]

Los términos bc se marchan, quedando:

tg(A/2) = √[[(p - c)·(p - b)]/(p(p - a)]

Si variamos las letras, tendremos las restantes fórmulas:

• tg(B/2) = √[[(p - c)·(p - a)]/(p(p - b)]
• tg(C/2) = √[[(p - a)·(p - b)]/(p(p - c)]

Fórmulas que nos permiten calcular los ángulos de un triángulo, si conocemos los lados.