Razones trigonométricas del ángulo mitad

 Para deducir las razones trigonométricas de este ángulo hay que recordar primeramente una de las relaciones fundamentales ya estudiadas:

cos² ɑ + sen² ɑ = 1

Si de esta igualdad restamos la obtenida para el coseno del ángulo doble tendremos:

1 = cos² ɑ + sen² ɑ 

-cos 2ɑ = cos² ɑ - sen² ɑ 

________________________

1 -cos 2ɑ =2sen² ɑ 

Despejando sen² ɑ:

sen² ɑ = (1 -cos 2ɑ)/2

Para eliminar el exponente, sacamos la raíz cuadrada;

sen ɑ = √( (1 -cos 2ɑ)/2)

Realizando un cambio de variable:

2ɑ = a

ɑ = a/2

Trasladando el cambio a la fórmula nos queda:

sen a/2 =  √( (1 -cos a)/2)

Para el cálculo del coseno, en lugar de restar sumamos las dos expresiones de partida:

1 = cos² ɑ + sen² ɑ 

+cos 2ɑ = cos² ɑ - sen² ɑ 

________________________

1 + cos 2ɑ =2cos² ɑ 

Despejando cos² ɑ, nos queda:

cos² ɑ = (1 + cos 2ɑ)/2

Sacamos la raíz cuadrada para eliminar el exponente:

cos ɑ = √((1 + cos 2ɑ)/2)

Realizamos el cambio de variable:

2ɑ = a; ɑ = a/2

El coseno nos quedaría:

cos a/2 = √((1 + cos a)/2)

Para calcular la tangente, realizamos el cociente entre el seno y el coseno;

tg a/2 = (sen a/2)/(cos a/2)

tg a/2 = √( (1 -cos a)/2)/√((1 + cos a)/2)

Englobándolo en una sola raíz:

tg a/2 = √[( (1 -cos a)/2)/((1 + cos a)/2)]

Realizando el cociente:

tg a/2 = √[( (1 -cos a)/(1 + cos a)]

Como se puede ver, todas las razones están calculadas en base al coseno del ángulo.