Teorema del seno

 Supongamos un triángulo oblicuángulos, como el de abajo, de vértices A, B y C y lados a, b y c. Trazamos su altura h, que coincidirá con el segmento CH, el rectángulo oblicuángulo habrá quedado dividido en dos triángulos rectángulos, por un ACH y por otro BCH.

En el triángulo se verifica:

h = a·sen B

h = b·sen A

Si los primeros miembros de las dos ecuaciones son iguales, los segundos miembros tienen también que igualarse, luego:

a·sen B = b·sen A

Expresión que puede expresarse como:

a/sen A = b/sen B

Cambiando las letras para referirlo al ángulo C, nos quedaría:

a/sen A = b/sen B = c/sen C = constante

Estas razones serán igual a un número constante, por lo que podemos afirmar que en cualquier triángulo, la razón de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.

El teorema del seno también se enuncia de la siguiente manera:

El valor constante de de la razón de un lado al seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al ángulo

 Realizando el dibujo tendríamos un triángulo A B C y su circunferencia circunscrita, y los lados a, b y c. Trazamos a partir de cualquiera de los vértices el diámetro de la circunferencia, que será igual a 2R, unimos A' con el vértice B, y aplicando el teorema expresado anteriormente, tenemos que:

Por abarcar A y A' el mismo arco de circunferencia circunscrita tienen que ser iguales, luego:

a/sen A = b/sen B

y aplicando la ley del seno en el triángulo A'BC, tendremos:

a/sen A' = 2R/sen 90º

puesto que el ángulo A'BC tiene que ser recto, ya que es inscrito y abarca la mitad de la circunferencia. Por otro lado, como sen 90º = 1:

a/sen A = 2R