Teorema de la tangente

 Si recordamos el teorema del seno:

a/sen A = b/sen B

Aplicando las propiedades de las proporciones que nos dicen que podemos obtener otras fracciones equivalentes, bien sumando los antecedentes y consecuentes, bien restándolos tenemos:

a/sen A = b/sen B = (a + b)/(sen A + sen B) = (a - b)/(sen A - sen B)

De las dos últimas proporciones se deduce por tanto:

(a + b)/(a - b) = (sen A + sen B)/(sen A - sen B)

Transformando ahora la suma y la resta de senos en productos:

(a + b)/(a - b) = [2sen((A + B)/2)·cos((A - B)/2)]/[2cos((A + B)/2)·sen((A - B)/2)] (1)

Como :

sen((A + B)/2)/cos((A + B)/2) = tg((A + B)/2)

cos((A - B)/2)/sen((A - B)/2) = ctg((A - B)/2) = 1/[tg((A -B)/2)]

La fórmula (1) quedará simplificada de la siguiente manera:

(a + b)/(a - b) = tg((A + B)/2)·ctg((A - B)/2)

O también:

(a + b)/(a - b) = tg((A + B)/2)/tg((A - B)/2)

Por tanto, la fórmula de la tangente nos dice que:

En un triángulo cualquiera, la suma de dos lados, partida por la diferencia de esos mismos lados, es igual a la tangente de la semisuma de sus ángulos opuestos, partido por la tangente de la semidiferencia.

 La fórmula anterior está dada para los ángulos a y b; de igual forma se puede decir para los lados b y c, y para los lados a y c.