Transformación de sumas en productos

 Para facilitar ciertos cálculos es interesante la obtención de una serie de relaciones que nos permitan la transformación de sumas y restas en productos.

Partimos primeramente de las fórmulas de los senos del ángulo (a ± b):

sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b

sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b

Sumando las dos expresiones nos queda:

sen(a + b) + sen(a - b) = 2 sen a cos b (1)

Realizamos un cambio de variable denominando:

a + b = A, a - b = B

Por lo que:

b = (A - B)/2, a = (A + B)/2

Trasladando los cambios a la ecuación (1) nos queda:

sen A + sen B = 2sen((A + B)/2)cos((A - B)/2)

Restemos ahora las dos ecuaciones de partida para calcular la diferencia:

sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b

- sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b

_____________________________________

sen(a + b) - sen (a - b) = 2cos a sen b (2)

Realizamos los cambios de variables:

A = a + b, B = a - b

Por lo que:

a = (A + B)/2, b = (A - B)/2

Trasladándolo a la fórmula (2):

sen A - sen B = 2cos((A + B)/2)·sen((A-B)/2)

Haciendo los mismos cálculos en base a los cosenos tendremos:

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

_________________________________

cos(a+ b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b

Realizando el cambio de variables:

  • A = a + b ; a = (A + B)/2
  • B = a - b ; b = (A -B)/2
Quedaría:

cos A + cos B = 2·cos( (A + B)/2)·cos((A -B)/2)

Para calcular la diferencia de cosenos:

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

-cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

_________________________________

cos(a+ b) - cos (a - b) = -2 sen a sen b

Cambiando las variables:

  • A = a + b; a = (A + B)/2
  • B = a - b; b = (A - B)/2
Nos quedaría:

cos A - cos B = -2·sen( (A + B)/2)·sen((A - B)/2)

Para la suma de tangentes haríamos:

tg A + tg B = sen A/cos A + sen B/cos B

Efectuando el quebrado:

tg A + tg B = (sen A cos B + cos A sen B)/(cos A cos B)

Observando que el numerador es igual a sen (A + B), nos quedaría:

tg A + tg B = sen(A + B)/(cos A cos B)

Para calcular la diferencia de tangentes, se opera de igual manera y obtenemos:

tg A - tg B = sen (A - B)/(cos A cos B)


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