Constante de Euler

 Sabemos que la serie armónica es divergente.

Vamos a calcular la suma de sus n primeros términos y conocer el índice de infinitud.

La sucesión (1+1/n)ⁿ es estrictamente creciente y sabemos que su límite, cuando n tiende a infinito, es el número e, luego e > (1 + 1/n)ⁿ y tomando logaritmos neperianos:

1 > n·Ln(1 + 1/n)

Por lo tanto:

1/n > [Ln(n+1)/n]

Por otra parte, sabemos que el límite de (1 - 1/n)ⁿ cuando n tiende a infinito es 1/e, por lo que 1/e >(1 - 1/n)ⁿ. Tomando logaritmos tenemos:

Ln(1/e)>n·Ln[(n-1)/n]

Operando con logaritmos:

-1/n >Ln[(n-1)/n]

Luego:

1/n>(Ln(n+1)-Ln(n))

Por otra parte:

1/n <Ln(n/(n-1) y 1/(n+1)<Ln[(n+1)/n] = Ln(n+1) - Ln(n)

Luego:

1/(n+1)<Ln(n+1) - Ln(n)<1/n

1/n<Ln(n) - Ln(n-1)<1/(n-1)

1/(n-1)<Ln(n-1) - Ln(n-2)<1/(n-2)

1/2<Ln2 - Ln1<1

Sumando tendremos:

1/(n+1) + 1/n + 1/(n-1) + ... + 1/2<Ln(n+1)<1/n + 1/(n-1) + ... + 1

H_n+1 - 1<Ln(n+1)<Hₙ

Hₙ<Ln(n)<H_n-1

De aquí se deduce:

Ln(n+1)<Hₙ<Ln(n) + 1

Hₙ tiende muy lentamente hacia ∞ muy lentamente, ya que para alcanzar 15 hay que sumar más de un millón de un términos.

De la relación anterior y suponiendo n > 1, dividiendo por Ln(n):

(Ln(n+1))/Ln(n) < Hₙ<Ln(n) < 1 + 1/Ln(n) (1)

Como el límite de n cuando n tiende a infinito de (Ln(n+1))/Ln(n) es 1, tenemos que el límite cuando n tiende a infinito de (1):

1<lim Hₙ/Ln(n)<1

Por tanto, el límite cuando n tiende a infinito de Hₙ/Ln(n) es 1.

Vamos a precisar más:

La sucesión Eₙ = {Hₙ - Ln(n)} es una sucesión decreciente de números positivos. Está acotada inferiormente, tiene límite y ese límite se llama constante de Euler C y su valor es 0,5772 (aprox). No confundir con el número de Euler, que es el número e (2,718...). La constante de Euler es el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural. La expresión Ln indica logaritmo natural, es decir, con base e.