Ángulo diedro (ángulo de dos planos)

 Dados los planos:

• Ax + By + Cz + D = 0
• A'x + B'y + C'z + D' = 0

Sea 𝜑 el ángulo que forman los dos planos.

Trazamos las perpendiculares por el origen a estos planos. Los cosenos directores de estas rectas son:

• (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾)
• (cos 𝛼', cos 𝛽', cos 𝛾')

y como

• cos 𝛼 = A/√(A²+B²+C²)
• cos 𝛽 = B/√(A²+B²+C²)
• cos 𝛾 = C/√(A²+B²+C²)

Por lo tanto:

• cos 𝜑 = (AA' + BB' + CC')/√[(A²+B²+C²)(A'²+B'²+C'²)]
• sen 𝜑 = √[(AB'-BA')²+(BC'-CB')²+(CA'-C'A)²]/√((A²+B²+C²)(A'²+B'²+C'²)
• tg 𝜑 = ± √[(AB'-BA')²+(BC'-CB')²+(CA'-C'A)²]/(AA' + BB' + CC')

Paralelismo y perpendicularidad

Las condiciones de paralelismo son:

• AB' - BA' = 0
• BC' - CB' = 0
• CA' - AC' = 0

condiciones de paralelismo que nos da que los coeficientes de las variables de los planos deben ser proporcionales:

A/A' = B/B' = C/C'

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Si los planos son perpendiculares, entonces 𝜑 = 𝜋/2, por lo que tg 𝜑 = ∞. La condición de perpendicularidad será:

AA' + BB' + CC' = 0

En consecuencia:

1. El paralelismo de planos equivale a fijar dos condiciones, puesto que un plano paralelo a uno dado se determina al pasar por un punto.
2. Para dos planos paralelos, los coeficientes son proporcionales.
3. Por un punto pasan infinitos planos perpendiculares a uno dado. Un plano perpendicular se determina si debe pasar por dos puntos o contenga la recta que definen a dichos puntos.