Ecuación general del plano

 De acuerdo con las ecuaciones anteriores, podemos escribir llamando a:

  • S = 1 + 𝜆 + 𝜇

  1. Sx = x₁ + 𝜆x₂ + 𝜇x₃
  2. Sy = y₁ + 𝜆y₂ + 𝜇y₃
  3. Sz = z₁ + 𝜆z₂ + 𝜇z₃

de modo que un punto P pertenecerá al plano que contiene a P₁, P₂, P₃ si este sistema es compatible, es decir:

Determinante de la ecuación general del plano
este determinante representa la ecuación del plano y desarrollándola por los elementos de la primera fila tenemos:

Ax + By + Cz + D = 0 (forma general de la ecuación del plano)

Si un punto se mueve por el espacio de forma que sus coordenadas satisfacen siempre una ecuación lineal, dicho punto describe un plano determinado.

Si tenemos 4 puntos que verifican la ecuación anterior, entonces es que están en un plano. Por ejemplo, para los puntos:
  • P₁(x₁, y₁, z₁)
  • P₂(x₂, y₂, z₂)
  • P₃(x₃, y₃, z₃)
  • P₄(x₄, y₄, z₄)
Tendremos el sistema lineal homogéneo:
  • Ax₁ + By₁ +Cz₁ + D = 0
  • Ax₂ + By₂ +Cz₂ + D = 0
  • Ax₃ + By₃ +Cz₃ + D = 0
  • Ax₄ + By₄ +Cz₄ + D = 0
siendo A, B, C, D no nulos:
Ejemplo de determinante para ecuación del plano





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