Introducción al plano en el espacio afín

 El plano en el espacio afín viene representado como un sistema lineal con dos parámetros o bien mediante una ecuación lineal de tres variables.

Ecuaciones paramétricas

Dados unos ejes 0(xyz) consideramos un plano 𝜋 y un punto de éste P(x, y, z) referido a dichos ejes.

En el plano 𝜋 trazamos dos nuevos ejes 0'X, 0'Y y un eje 0'Z', que pase por el punto 0', tal que el punto P tenga unas coordenadas nuevas:

• x' = u
• y' = v
• z' = 0

De acuerdo con las ecuaciones de la transformación general:

• x = X·(cos Xx')/(cos xx') + Y(cos Yx')/(cos xx') + Z(cos Zx')/(cos xx') + a
• y = X·(cos Xy')/(cos yy') + Y(cos Yy')/(cos yy') + Z(cos Zy')/(cos yy') + b
• z = X·(cos Xz')/(cos zz') + Y(cos Yz')/(cos zz') + Z(cos Zz')/(cos zz') + c

tendremos:

• x = a₁u + b₁v + a
• y = a₂u + b₂v + b
• z = a₃u + b₃v + c

que son las ecuaciones paramétricas del plano.

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Dados tres puntos del plano que no están en línea recta:

• P₁(x₁, y₁, z₁)
• P₂(x₂, y₂, z₂)
• P₃(x₃, y₃, z₃)

Las coordenadas del punto P' de la recta que pasa por P₁ y P₂ vendrán representadas como:

• x' = (x₁+𝜆x₂)/(1 + 𝜆)
• y' = (y₁+𝜆y₂)/(1 + 𝜆)
• z' = (z₁+𝜆z₂)/(1 + 𝜆)

Y para un punto P de la recta variable P'P₃ sus coordenadas serán:

• x =(x₁ + 𝜆x₂ + 𝜇x₃)/(1 + 𝜆 + 𝜇)
• y = (y₁ + 𝜆y₂ + 𝜇y₃)/(1 + 𝜆 + 𝜇)
• z = (z₁ + 𝜆z₂ + 𝜇z₃)/(1 + 𝜆 + 𝜇)