Condición para que dos rectas estén en un plano

 Dadas dos rectas en la ecuación de forma reducida:

• x = az + h
• y = bz + k

y 

• x = a'z + h'
• y = b'z + k'

Si ambas se cortan en un punto o son paralelas (a = a', b = b') se tiene un sistema de cuatro ecuaciones compatibles y la condición de compatibilidad se verifica al eliminar las incógnitas:

• (a -a')z + (h - h') = 0
• (b - b')z + (k - k') = 0

Por lo que:

(h-h')/(a-a') = (k - k')/(b-b') (1)

Luego si tenemos dos rectas en su forma normal:

• (x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z - z₁)/r
• (x-x₂)/p' = (y-y₂)/q' = (z - z₂)/r'

de estas ecuaciones obtendremos la condición para que estén en un plano:

• (x₁, y₁, z₁) => (x₁ + 𝜌p, y₁ + 𝜌q, z₁ + 𝜌r)
• (x₂, y₂, z₂) => (x₂ + 𝜌p', y₂ + 𝜌q', z₂ + 𝜌r')

tenemos entonces

Podemos restar la segunda fila de la primera fila, la primera de la tercera, y la segunda de la cuarta. Entonces nos quedaría:

Si se verifica esta última condición, o bien la condición (1), las rectas dadas definirán un plano que viene determinado por la primera y un punto de la segunda recta.