Plano que pasa por varios puntos

 Plano que pasa por un punto

El plano que pasa por un punto lo obtendremos partiendo de la ecuación general del plano:

Ax + By + Cz + D = 0

Siendo P(x₁, y₁, z₁) un punto del plano que debe verificar:

Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0

Si restamos ambas ecuaciones:

A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0

tenemos dos parámetros A/C, B/C, y representa la doble infinidad de planos que pasan por P₁, es decir, la radiación de centro P₁,

Plano que pasa por dos puntos

Si queremos que el plano pase por dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), tendremos:

  • Ax + By + Cz + D = 0
  • Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0
  • Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0

Si eliminamos D y C:

  • A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0
  • A(x₂ - x₁) + B(y₂ - y₁) + C(z₂ - z₁) = 0

A[(x - x₁)(z₁ - z₂) - (z - z₁)(x₁ - x₂)] + B[(y - y₁)(z₁ - z₂) - (z - z₁)(y₂ - y₁)] = 0

Ahora el parámetro es A/B y tenemos una ecuación indeterminada que representa el haz de planos de arista P₁ y P₂.

Plano que pasa por tres puntos

Si el plano debe pasar por los puntos P₁(x₁, y₁, z₁),  P₂(x₂, y₂, z₂) y P₁(x₃, y₃, z₃), tendremos las ecuaciones:

  • Ax + By + Cz + D = 0
  • Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0
  • Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0
  • Ax₃ + By₃ + Cz₃ + D = 0
que es un sistema lineal homogéneo del que resulta:
Determinante para plano que pasa por tres puntos

Condición para que cuatro puntos estén en el plano

La condición es:
Determinante plano que pasa por cuatro puntos
ya que el punto P₄(x₄, y₄, z₄) debe satisfacer la ecuación del plano.



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