Ejemplos de determinación de planos

 Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior.

Ejemplo 1

Determinar las posiciones de los planos:

  • 2x + y - z = 0
  • 3x -y +z + 5 = 0
  • 4x +2y -2z + 1 = 0

Segundo plano:

  • 2x -y + 3z +1 = 0
  • 4x -2y + 6z +5 = 0
  • -2x +y -3z +7 = 0

Tercer plano:

  • x+y-z +2 = 0
  • 2x-y+3z+5 = 0
  • 3x+2z +7 = 0

Solución

  • Para el primer plano:

Estudiemos el rango de las matrices:

Rango matriz de planos

y 

Rango matriz ampliada ejemplo 1

los tres planos carecen de puntos en común y son paralelos.

Para el segundo plano:

Volvemos a comprobar los rangos de las matrices:

Rango matriz segundo plano

y

Rango matriz ampliada ejemplo 2

Si observamos los coeficientes de las x, y, z, de los planos observamos que por ser proporcionales son paralelos.

Para el tercer plano, volvemos a comprobar los rangos de las matrices (de los coeficientes y de la ampliada, al igual que en los otros casos), y vemos que ambos son iguales a 2, lo que indica que es un sistema compatible indeterminado y los planos tienen una recta común.

Ejemplo 2

Tenemos que hallar la ecuación del plano que pasa por el origen por P(5,2,-3) y es perpendicular a:

2x -5y + z -8 = 0

Solución

La ecuación general del plano es:

Ax + By + Cz + D = 0

por pasar por el origen es D = 0, luego se verifica:

  • Ax + By +Cz = 0
  • 5A + 2B - 3C = 0
  • 2A - 5B + C = 0

tendremos:

Determinante ejemplo 2

desarrollando el determinante:

13x + 11y + 29z = 0

Ejemplo 3

Tenemos que hallar la condición para que los planos

  • P₁≡x -cy-bz = 0
  • P₂≡y -az-cz = 0
  • P₃≡z -bx-ay = 0

pasen por una misma recta.

Solución

Si igualamos las ecuaciones:

  • x - cy - bz + 𝜆(y - az -cx) = 0
  • z -bx -ay = 0

obtendremos:

a² + b² + c² + 2abc - 1 = 0

que es la condición que buscamos.

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