Condición para que tres planos se corten en una recta

 Para que tres planos se corten en una recta debe cumplirse:

siendo ABC, A'B'C' y A''B''C'' los coeficientes de los planos:

• Ax + By + Cz + D = 0
• A'x + B'y + C'z + D' = 0
• A''x + B''y + C''z + D'' = 0

y además la matriz 

debe tener rango 2. Y con ambas condiciones, los tres planos deben cortarse en una recta impropia o propia.

También podemos tomar otro criterio, dados los planos:

• P₁ = 0
• P₂ = 0
• P₃ = 0

se cortarán en una recta si podemos encontrar tres números 𝛼, 𝛽, 𝛾 que verifiquen:

𝛼P₁ + 𝛽P₂  + 𝛾P₃ = 0

de modo que las coordenadas de un punto que satisfaga:

• P₁ = 0
• P₂ = 0

hará también que P₃ = 0, y por tanto P₃ pasará por la intersección de los otros dos.

Condición para que cuatro planos se corten en un punto

• P₁≡Ax + By + Cz +D = 0
• P₂≡A'x + B'y + C'z +D' = 0
• P₃≡A''x + B''y + C''z +D'' = 0
• P₄≡A'''x + B'''y + C'''z +D''' = 0

Si el sistema de estas ecuaciones debe tener una solución común, entonces el sistema es compatible:

o también mediante otro criterio análogo:

𝛼P₁ + 𝛽P₂  + 𝛾P₃ + 𝜆P₄ = 0

las coordenadas del punto que verifican una solución común a tres planos de ellos anulará igualmente el cuarto, y por tanto este último también pasa por el punto de corte de los otros tres.